Problema A.1. Se dan las matrices A=[ 2 2 1 -3] y B = [2 -2 1 3] . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La matriz inversa de la matriz A . (2 puntos)
b) Las matrices X e Y de orden 2× 2 tales que XA = B y AY = B. (2 + 2 puntos)
c) Justificar razonadamente que si M es una matriz cuadrada tal que, 2 M = I donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad. 3 7 M = M (4 puntos).
PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II
Respuestas a la pregunta
a) La matriz inversa de la matriz A.
Se extiende la matriz A con una matriz identidad de 2x2.
(1 -3 | 1 0)
(2 2 | 0 1)
Se aplica la siguiente operación, F1 = F1 + 3F2/2.
(4 0 | 1 3/2)
(2 2 | 0 1 )
F1 = F1/4
(1 0 | 1/4 3/8)
(2 2 | 0 1 )
F2 = F2/2
(1 0 | 1/4 3/8)
(1 1 | 0 1/2)
F2 = F2 – F1
(1 0 | 1/4 3/8)
(0 1 |-1/4 1/8)
La matriz inversa de A es:
(1/4 3/8)
(-1/4 1/8)
b) Las matrices X e Y de orden 2 x 2 tales que XA = B y AY = B
Se comienza por XA = B, se multiplica por la derecha la matriz inversa de A.
X*A*A^1 = B*A^-1
X = B*A^-1
X = (1 3) * (1/4 3/8)
(2 -2) (-1/4 1/8)
X = (-1/2 3/4)
( 1 1/2)
Para AY = B se multiplica por la izquierda la matriz inversa de A.
A^-1*A*Y = A^-1*B
Y = A^-1*B
Y = (1/4 3/8) * (1 3)
(-1/4 1/8) * (2 -2)
Y = (1 0)
(-1 0)
c) Justificar razonadamente que si M es una matriz cuadrada tal que M^2 = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces verifica la igualdad M^3 = M^7.
Se tiene que la igualdad es:
M^2 = M*M = I
M^3 = M*M*M = M*I = M
M^4 = M*M*M*M = I*I = I
M^5 = M*M*M*M*M = M*I*I = M
M^6 = M*M*M*M*M*M = I*I*I = I
M^7 = M*M*M*M*M*M*M = M*I*I*I = M
Como M^3 = M y M^7 = M, se concluye que M^3 = M^7.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.