Question

PROBABILIDAD

Una empresa dedicada a la
fabricación de bolsas de plástico
tiene tres máquinas (A, B y C) para
ello. La máquina A realiza 25% de la
producción de bolsas; la maquina B,
35%, y la maquina C, 40%. Se ha
determinado que cuando las bolsas son hechas por la maquina A, 5%
tiene defectos; de la máquina B, 10% los tiene, y de la maquina C, 3%.
De acuerdo con estos datos:
a. Realiza el diagrama de árbol correspondiente.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa, elegida al azar, esté
defectuosa?
c. Si una bolsa está defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que
haya sido producida por la maquina A? ¿Por la maquina B? ¿Y por
la maquina C?

Answer 1

La probabilidad de que una bolsa elegida al azar sea defectuosa es del 6%

Mediante el uso de la regla de Bayes se resuelve de la siguiente forma:

Si los eventos B1, B2, …, Bk constituyen una partición del EM tal  que para P(Bi)≠0 para i=1,2,…,k, entonces para cualquier evento A  del EM se tiene:

P(A)=∑P(Bi∩A)=∑P(Bi)P(AΙBi)

Este resultado se denomina teorema de probabilidad total o regla  de eliminación. Por otro lado;

Si los eventos B1, B2, …,Bk constituyen una partición del EM  donde P(Bi)≠0, para i=1,2,…,k, entonces para cualquier evento  A en el EM tal que P(A)≠0

P(Br ΙA)= P(Br∩A)/∑P(Bi∩A)=P(Br)P(AΙBr)/ΣP(Bi)P(AΙBi) , r=1,2,...,k

a. Realiza el diagrama de árbol correspondiente.

Ver imagen adjunto.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa, elegida al azar, esté  defectuosa?

Sea

D: Elegir una bolsa defectuosa

MA: Producto de bolsa de la maquina A

MB: Producto de bolsa de la maquina B

MC: Producto de bolsa de la maquina C

Al aplicar el teorema de probabilidad total, podemos escribir:

P(D)=P(MA)P(D/MA)+P(MB)P(D/MB)+P(MC)P(D/MC)=(0,25*0,05)+(0,35*0,10)+(0,40*0,03)=0,059

La probabilidad de que una bolsa este defectuosa es del 6%

c. Si una bolsa está defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que  haya sido producida por la maquina A? ¿Por la maquina B? ¿Y por  la maquina C?

• ¿Cuál es la probabilidad de que  haya sido producida por la maquina A?

P(MAΙD)= P(MA)P(DΙMA) / P(MA)P(D/MA)+P(MB)P(D/MB)+P(MC)P(D/MC)

P(MAΙD)=(0,25*0,05) / (0,25*0,05)+(0,35*0,10)+(0,40*0,03)=0,0125/0,059=0,21

La probabilidad es del 21%

• ¿Cuál es la probabilidad de que  haya sido producida por la maquina B?

P(MBΙD)= P(MB)P(DΙMB) / P(MA)P(D/MA)+P(MB)P(D/MB)+P(MC)P(D/MC)

P(MBΙD)=(0,35*0,10) / (0,25*0,05)+(0,35*0,10)+(0,40*0,03)=0,035/0,059=0,59

La probabilidad es del 59%

• ¿Cuál es la probabilidad de que  haya sido producida por la maquina C?

P(MCΙD)= P(MC)P(DΙMC) / P(MA)P(D/MA)+P(MB)P(D/MB)+P(MC)P(D/MC)

P(MCΙD)=(0,40*0,03) / (0,25*0,05)+(0,35*0,10)+(0,40*0,03)=0,012/0,059=0,20

La probabilidad es del 20%