Question

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Answer 1

Respuesta:     $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)=\:12$

Explicación paso a paso:

$x-\frac{1}{x}=1$  Primero despejamos x

$\mathrm{Multiplicar\:ambos\:lados\:por\:}x$

$xx-\frac{1}{x}x=1\cdot \:x$

$x^2-1=x$

$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Entonces:

Sustituimos "x" en $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)$

$\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+\frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2}\right)\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3-\frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3}\right)$

Desarrollar: $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2$   :   $=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Desarrollar:   $\frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2}$   : $=\frac{2}{3+\sqrt{5}}$

Queda:

$=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}\right)\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3-\frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3}\right)$

Desarrollar: $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3$    :  $=2+\sqrt{5}$

Desarrollar: $\frac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3}$    :  $=\frac{1}{2+\sqrt{5}}$

Queda:

$\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}\right)\left(-\frac{1}{2+\sqrt{5}}+2+\sqrt{5}\right)$

Simplificar: $\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}$   → $=\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}{2\left(3+\sqrt{5}\right)}+\frac{4}{2\left(3+\sqrt{5}\right)}$ → $\frac{6\left(3+\sqrt{5}\right)}{2\left(3+\sqrt{5}\right)}$ → $3$

Entonces:

$=3\left(-\frac{1}{2+\sqrt{5}}+2+\sqrt{5}\right)$

Desarrollar: $\frac{1}{2+\sqrt{5}}$    :  Racionalizar: $\frac{1\cdot \left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}$  :  $\frac{2-\sqrt{5}}{-1}$ → $\sqrt{5}-2$

Queda:

$=3\left(-\left(\sqrt{5}-2\right)+2+\sqrt{5}\right)$

Desarrollar: $2+\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-2\right)$  : $2+\sqrt{5}-\sqrt{5}+2$  → $4$

Entonces queda:

$=3\cdot \:4$

$\mathrm{Multiplicar\:los\:numeros:}\:3\cdot \:4=12$

$=12$   ⇒ Respuesta