Question

Para una población con una varianza conocida de 285, una muestra de 64 individuos lleva a 220 como estimación de la media de un parámetro de la población. a. Encuentre el error estándar de la media. b. Establezca una estimación de intervalo que incluya la media de la población en el 68,3%.

Answer 1

A un nivel de confianza del 68,3%, el valor verdadero de la media para esta población se va a ubicar entre 218 y 222.

Explicación paso a paso:

Asumimos que la variable aleatoria bajo estudio sigue una distribución normal, en la que intentamos estimar la esperanza. Conocemos la varianza que es el cuadrado de la desviación estándar.

a) Nos queda como error estándar de la media:

$SEM=\frac{s}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{s^2}{n}}\\\\Var(X)=s^2=>SEM=\sqrt{\frac{285}{64}}=2,11$

b) Ahora con este valor, teniendo en cuenta la expresión que permite hallar la variable aleatoria normalizada z con que ingresamos en las tablas de distribución normal:

$z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

Queremos hallar el intervalo en el que X va a estar en el 68,3% de los casos, por lo que despejando queda:

$\ñ\sigma.z=X-\mu$

Teniendo el error estándar representado aquí como el desvío estándar. no hay más que encontrar en las tablas de distribución normal el valor de z tal que:

$\alpha=1-0,683=0,317\\\\P(z)=1-\frac{\alpha}{2}=0,8415=>z=1\\\\P(z)=\frac{\alpha}{2}=0,1585=>z=-1$

Con lo que nos queda:

$\ñ2,11.1=X-\mu\\\ñ2,11=X-\mu$

Siendo 220 el estimador para la media, sabemos que en el 68,3%, el valor verdadero de la media va a estar entre 2,11 por encima y 2,11 por debajo. Los límites del intervalo de confianza son:

$\mu_{max}=2,11+220=222,11\\\mu_{min}=220-2,11=217,89$