Para construir un joyero de base cuadrada sin tapa, se utilizó una cartulina cuadrada cuya área es 64x^2 + 192x + 144. Se recortaron cuadrados de las esquinas cuya área es 4x^2 - 20x + 25. Cuál es la expresión que representa el lado de la base del joyero?
Respuestas a la pregunta
La expresión que representa el lado de la base del joyero es 4x + 22
Explicación:
La base del joyero se construye al doblar las pestañas laterales de la cartulina que quedan una vez recortados los cuadrados de las esquinas. Por lo tanto, la longitud del lado de la base del joyero viene dada por la diferencia entre la longitud del lado de la cartulina y la longitud del lado del cuadrado recortado en cada esquina de la cartulina:
Longitud del lado del joyero = Longitud del lado de la cartulina - 2*(Longitud del lado del cuadrado recortado en cada esquina de la cartulina)
La cartulina con la que se construye la base del joyero es cuadrada, por lo que su área es el cuadrado de la dimensión del lado de dicha cartulina. Asimismo, el área de los cuadrados que se recortan en cada esquina es el cuadrado del lado de dicho cuadrado.
Vamos a factorizar, usando cuadrados perfectos, las áreas dadas y de allí obtenemos los valores de las longitudes necesarias para calcular el lado de la base del joyero:
Cuadrado perfecto: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Área de la cartulina: 64x² + 192x + 144
a² = 64x² ⇒ a = 8x
b² = 144 ⇒ b = 12
2ab = 2(12)(8x) = 192x lo que coincide con el término grado uno de la ecuación, por lo tanto:
64x² + 192x + 144 = (8x + 12)²
Lado de la cartulina = 8x + 12
Área del cuadrado recortado en cada esquina: 4x² - 20x + 25
a² = 4x² ⇒ a = 2x
b² = 25 ⇒ b = 5
2ab = 2(5)(2x) = 20x lo que coincide con el término grado uno de la ecuación, por lo tanto:
4x² - 20x + 25 = (2x - 5)²
Lado del cuadrado recortado en cada esquina = 2x - 5
Finalmente, calculamos el lado de la base del joyero:
Longitud del lado del joyero = (8x + 12) - 2*(2x - 5) = 4x + 22