Question

Necesito ayuda con este problema

Answer 1

tenemos:

$M=\frac{x^{4}x^{6}x^{8}x^{10}....x^{40}     }{xx^{3}x^{5} x^{7}.... x^{37}}$

los exponentes del numerador representan todos los números pares, y los exponentes del denominador los impares.

tenemos que tomar en cuenta la siguiente propiedad de exponentes:

$a^{b}.a^{c}=a^{b+c}$

es decir, si las bases son iguales los exponentes se suman.

por tanto:

 $M=\frac{x^{4+6+8+10+.....+40} }{x^{1+3+5+7+....+37} }$

solo nos quedaría realizar las sumas para simplificar la fracción:

podemos hacerlo de la manera corta usando la fórmula de las sucesiones aritméticas:

$Suma=\frac{(a1+an)n}{2}$

entonces en el numerador:

$suma=\frac{(4+40)19}{2} \\suma=418$

toma en cuenta que del 1 al 40 hay 40 números pero la mitad son pares, además hay que restar un número (el 2) que no está en la sucesión:

en el denominador:

$Suma=\frac{(1+37)19}{2} \\suma=361$

la lógica para n es la misma de lo anterior: finalmente se tiene:

$M=\frac{x^{418} }{x^{361} } }$

para simplificar solo se resta los exponentes:

$M=\frac{x^{418} }{x^{361} }=x^{418-361}=x^{57}$