Question

Muestre que el triángulo cuyos vértices son: A(0,1), B(1, $\frac{1}{2}$), C(2, $\frac{5}{2}$) es rectángulo y determine la medida de sus ángulos.

Answer 1

Respuesta.

Para resolver este problema hay que encontrar los vectores con origen tanto en A, B y C y estos son:

AB = B - A = (1, 0.5) - (0, 1) = (1, -0.5)

|AB| = √1² + (-0.5)² = 1.118

AC = (2, 2.5) - (0, 1) = (2, 1.5)

|AC| = √2² + (1.5)² = 2.5

BA = (0, 1) - (1, 0.5) = (-1, 0.5)

|BA| = 1.118

BC = (2, 2.5) - (1, 0.5) = (1, 2)

|BC| = 2.236

CA = (-2, -1.5)

|CA| = 2.5

CB = (-1, -2)

|CB| = 2.236

Ahora a cada par de vectores se les aplica el producto escalar para encontrar el ángulo entre ellos:

AB . AC = |AB| * |AC| * Cos(α1)

(1, -0.5) . (2, 1.5) = 1.118 * 2.5 * Cos(α1)

2 - 0.75 = 2.795 * Cos(α1)

1.25/2.795 = Cos(α1)

α1 = ArcCos(1.25/2.795)

α1 = 63.434°

BA . BC = |BA| * |BC| * Cos(α2)

(-1, 0.5) . (1, 2) = 1.118 * 2.236 * Cos(α2)

-1 + 1 = 2.5 * Cos(α2)

0 = Cos(α2)

α2 = 90°

CA . CB = |CA| * |CA| * Cos(α3)

(-2, -1.5) . (-1, -2) = 2.5 * 2.236 * Cos(α3)

2 + 3 = 5.59 * Cos(α3)

5 = 5.59 * Cos(α3)

α3 = ArcCos(5/5.59)

α3 = 26.561°

Como α2 = 90° se concluye que los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo.