Estadística y Cálculo, pregunta formulada por lezjose31, hace 1 año

me pueden ayudar con la respuesta por favor.

máximo y mínimo puntos de inflexión gráfica
La ecuación de la recta tangente y normal
el valor para X es 0 ( X = 0 )

2/3x⌃3+x⌃2-2x+10

Respuestas a la pregunta

Contestado por marquinajunior
1

Respuesta:

Ocurre un mínimo en  x_{1} = \frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2}

Ocurre un máximo en x_{2} = \frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2}

Hay un punto de inflexión en x_{3}=-\frac{1}{2}

La ecuación de la recta tangente en el punto  x_{0}=0 es y=-x+10.

La ecuación de la recta normal en el punto  x_{0}=0 es y=x+10.

Explicación:

Para encontrar los puntos máximos o mínimos  de una función cualquiera se emplearán los siguientes criterios:

Mínimo Relativo

Un mínimo relativo en el punto p existe, si se cumple que:

  1. \frac{df(x)}{dx} =0
  2. \frac{d^{2}f(p)}{dx} >0

Máximo Relativo

Un máximo relativo en el punto p existe, si se cumple que:

  1. \frac{df(x)}{dx} =0
  2. \frac{d^{2}f(p)}{dx} <0

A los puntos en los que se cumple que \frac{d f(x)}{dx} =0, se les denomina puntos críticos de la función.

Cálculo de puntos críticos:

La función de estudio es f(x)=\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}  -2x+10.

Calculando la derivada:

\frac{df(x)}{dx} =2x^{2} +2x-2

Haciendo la derivada igual a cero y resolviendo la ecuación, nos permite calcular los puntos críticos:

\frac{df(x)}{dx} =0\\\\2x^{2} +2x-2=2(x^{2} +x-1)=0\\x_{1}=\frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2}  \\x_{2}=\frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2}  \\

Los cuales, se obtuvieron, aplicando la ecuación de segundo grado.

Ahora se deben comprobar los criterios para encontrar el mínimo o máximo de la función. Para ello, se necesita calcular la segunda derivada de la misma. Así:

\frac{d^{2}f(x)}{dx}=4x+2

Mínimo local de la función

\frac{d^{2}f(p)}{dx} >0

\frac{d^{2}f(\frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2} )}{dx}=4(\frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2} )+2>0

Como puede observarse, el punto x_{1} es un mínimo local.

Máximo local de la función

\frac{d^{2}f(p)}{dx} <0

\frac{d^{2}f(\frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2} )}{dx}=4(\frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2} )+2<0

Como puede observarse, el punto x_{2} es un máximo local.

Puntos de Inflexión de la función

Los puntos de inflexión se obtienen a partir de la segunda derivada de la misma. Es decir, todos los puntos que cumplen \frac{d^{2}f(p)}{dx} =0. Así:

\frac{d^{2}f(p)}{dx}=4x+2=0

x_{3}=-\frac{1}{2}

Entonces, en x_{3} hay un punto de inflexión.

Recta Tangente

Para calcular la ecuación de la recta tangente en el punto x_{0}=0, se debe evaluar la derivada en dicho punto.

y-f(x_{0})= \frac{df(x_{0})}{dx}(x-x_{0})

Primero calculamos:

f(x_{0})=10

\frac{df(x_{0})}{dx}=2(0)^{2}+2(0)-1=-1

Ahora, tenemos la ecuación de la recta Pendiente, en el punto  x_{0}=0 como:

y-10)= -1(x-0)

y=-x+10

Recta Normal

Para calcular la recta normal en el punto x_{0}=0, se puede emplear la siguiente ecuación:

y-f(x_{0})= N*(x-x_{0})

Donde:

N=\frac{-1}{\frac{df(x_{0})}{dx}}

N=\frac{-1}{-1} =1

Así, la ecuación de la recta Normal, en el punto  x_{0}=0, es:

y-10)= 1(x-0)

y=x+10

Otras preguntas