Question

me pueden ayudar con la respuesta por favor.

máximo y mínimo puntos de inflexión gráfica
La ecuación de la recta tangente y normal
el valor para X es 0 ( X = 0 )

2/3x⌃3+x⌃2-2x+10

Answer 1

Respuesta:

Ocurre un mínimo en  $x_{1} = \frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2}$

Ocurre un máximo en $x_{2} = \frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2}$

Hay un punto de inflexión en $x_{3}=-\frac{1}{2}$

La ecuación de la recta tangente en el punto  $x_{0}=0$ es $y=-x+10$.

La ecuación de la recta normal en el punto  $x_{0}=0$ es $y=x+10$.

Explicación:

Para encontrar los puntos máximos o mínimos  de una función cualquiera se emplearán los siguientes criterios:

Mínimo Relativo

Un mínimo relativo en el punto p existe, si se cumple que:

1. $\frac{df(x)}{dx} =0$
2. $\frac{d^{2}f(p)}{dx} >0$

Máximo Relativo

Un máximo relativo en el punto p existe, si se cumple que:

1. $\frac{df(x)}{dx} =0$
2. $\frac{d^{2}f(p)}{dx} <0$

A los puntos en los que se cumple que $\frac{d f(x)}{dx} =0$, se les denomina puntos críticos de la función.

Cálculo de puntos críticos:

La función de estudio es $f(x)=\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}  -2x+10$.

Calculando la derivada:

$\frac{df(x)}{dx} =2x^{2} +2x-2$

Haciendo la derivada igual a cero y resolviendo la ecuación, nos permite calcular los puntos críticos:

$\frac{df(x)}{dx} =0\\\\2x^{2} +2x-2=2(x^{2} +x-1)=0\\x_{1}=\frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2}  \\x_{2}=\frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2}$

Los cuales, se obtuvieron, aplicando la ecuación de segundo grado.

Ahora se deben comprobar los criterios para encontrar el mínimo o máximo de la función. Para ello, se necesita calcular la segunda derivada de la misma. Así:

$\frac{d^{2}f(x)}{dx}=4x+2$

Mínimo local de la función

$\frac{d^{2}f(p)}{dx} >0$

$\frac{d^{2}f(\frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2} )}{dx}=4(\frac{-1+\sqrt[2]{5} }{2} )+2>0$

Como puede observarse, el punto $x_{1}$ es un mínimo local.

Máximo local de la función

$\frac{d^{2}f(p)}{dx} <0$

$\frac{d^{2}f(\frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2} )}{dx}=4(\frac{-1-\sqrt[2]{5} }{2} )+2<0$

Como puede observarse, el punto $x_{2}$ es un máximo local.

Puntos de Inflexión de la función

Los puntos de inflexión se obtienen a partir de la segunda derivada de la misma. Es decir, todos los puntos que cumplen $\frac{d^{2}f(p)}{dx} =0$. Así:

$\frac{d^{2}f(p)}{dx}=4x+2=0$

$x_{3}=-\frac{1}{2}$

Entonces, en $x_{3}$ hay un punto de inflexión.

Recta Tangente

Para calcular la ecuación de la recta tangente en el punto $x_{0}=0$, se debe evaluar la derivada en dicho punto.

$y-f(x_{0})= \frac{df(x_{0})}{dx}(x-x_{0})$

Primero calculamos:

$f(x_{0})=10$

$\frac{df(x_{0})}{dx}=2(0)^{2}+2(0)-1=-1$

Ahora, tenemos la ecuación de la recta Pendiente, en el punto  $x_{0}=0$ como:

$y-10)= -1(x-0)$

$y=-x+10$

Recta Normal

Para calcular la recta normal en el punto $x_{0}=0$, se puede emplear la siguiente ecuación:

$y-f(x_{0})= N*(x-x_{0})$

Donde:

$N=\frac{-1}{\frac{df(x_{0})}{dx}}$

$N=\frac{-1}{-1} =1$

Así, la ecuación de la recta Normal, en el punto  $x_{0}=0$, es:

$y-10)= 1(x-0)$

$y=x+10$