Question

Me podrían ayudar con los siguientes ejercicios de calculo diferencial:

*Dada la función: f(x) = x^3 - 3x

1) La ecuación de la recta tangente de la gráfica de la función en x = 2
2) La ecuación de la recta normal en x = 2

Answer 1

Explicación paso a paso:

                                        Resolución:

                                     Dada la función:

                                      $F(x)= x^3-3x$

           1) Hallar la ecuación tangente de la función en "x = 2 ":

                                     Hallamos "y":

                                $F(2)=(2)^3-3(2)$            

                                  $F(2) = 8-6$

                                     $F(2)= 2$

                                 Los puntos son:

                                         $P(2,2)$

                   Derivamos la función para hallar la pendiente:

                        $F'(x)=3*1*x^{3-1}-3*1*x^{1-1}$

                                  $F'(x) = 3x^2-3$

   Evaluamos para "x = 2", a la función derivada para hallar la pendiente:

                                    $F'(2)=3(2)^2-3$

                                   $F'(2) = 3(4)-3$

                                      $F'(2)=12-3$

                                         $F'(2)= 9$

                                             m = 9

                                    La pendiente es:

                                               m = 9

                           Hallamos la ecuación tangente:

                                        $y-2=9(x-2)$

                                        $y-2=9x-18$

                                        $y = 9x-18+2$

                                           $y = 9x-16$
                                              Solución:

                                           $y = 9x-16$

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   2) Encontrar la ecuación normal de la función en "x = 2":                                  

Debemos recordar que la recta normal es perpendicular a la recta tangente: "$m_1*m_2=-1$", con esto en cuenta operamos:  

                                   Calculamos la pendiente:    

                                            $m_1*9=-1$

                                             $m_1 = -\frac{1}{9}$

                                         La pendiente es:

                                                $m= -\frac{1}{9}$

                                Hallamos la ecuación normal:

                                       $y-2=-\frac{1}{9} (x-2)$

                                        $y-2=-\frac{x}{9} +\frac{2}{9}$

                                       $y = -\frac{x}{9} +\frac{2}{9} +2$

                                         $y = -\frac{x}{9} +\frac{20}{9}$

                                            Solución:

                                         $y = -\frac{x}{9} +\frac{20}{9}$