Question

Me podrían ayudar con este ejercicio por favor.

Answer 1

El valor de la integral triple planteada mediante la expresión es de 1/10.

¿Cuál es el valor de la integral triple?

Como el primer diferencial que aparece es 'dx' vamos a integrar la expresión respecto de la variable 'x' entre los límites 'y' y 0, nos va a quedar una expresión en función solo de 'y' y de 'z' dentro del integrando, y la integral pasará a ser doble:

$\int\limits^1_0 \int\limits^z_0 \int\limits^y_0 {xy^2z^3} \, dx dydz=\int\limits^1_0 \int\limits^z_0y^2z^3 [\frac{x^2}{2}]^y_0 dydz=\int\limits^1_0 \int\limits^z_0\frac{y^4}{2}z^3 dydz$

Ahora tenemos que integrar respecto de la variable 'y' entre los límites 'z' y 0. Al hacerlo nos va a quedar una expresión únicamente en función de la variable 'z'. Entonces podremos resolver la integral definida entre 1 y 0:

$\int\limits^1_0 \int\limits^z_0\frac{y^4}{2}z^3 dydz=\int\limits^1_0\frac{z^3}{2} \int\limits^z_0 y^4 dydz=\int\limits^1_0\frac{z^3}{2} [\frac{y^5}{5}]^z_0 dz\\\\=\int\limits^1_0\frac{z^3}{2} \frac{z^5}{5} dz=\int\limits^1_0\frac{z^8}{10} dz=\frac{1}{10}$

Aprende más sobre integral triple en https://brainly.lat/tarea/56024237

#SPJ1