Question

Me podrían ayudar a encontrar la función inversa de
F(x) = ln(x − 1)

Answer 1

Muy buenas tardes...

En si encontrar la funcion inversa de alguna funcion cualquiera no tiene ningun chiste, solamente lo que haremos es igualar a f(x) por y en nuestra funcion, cuando realicemos esto obtenemos:

$y=\ln(x-1)$

Esta funcion no es la funcion inversa todavia, lo que haremos es hacer un cambio de variables, vamos a cambiar la variable y por la x y la x por la y, no se si me entiendes a un 100%? si es asi mira lo que pasa por cambiar x por y en la funcion:

$x=\ln(y-1)$

Diriamos que esta funcion es la misma de antes pero lo que hicimos es cambiar los lugares de la variable x y y, pero en si la inversa lo vamos a conseguir despejando la variable y... Para despejar la variable y recordemos que para eliminar el logaritmo natural debemos de elevar el logaritmo natural a un exponencial conocido por la letra e (numero de Euler), pero si colocamos el exponencial en la parte del logaritmo natural no vamos a obtener la misma igualdad de antes, entonces seamos inteligentes pues para no alterar nada vamos a elevar ambas partes de la igualdad por un exponencial, de tal forma que obtengamos:

$e^x=e^{\ln(y-1)}\\\\ e^x= y-1$

Vamos a quitar ese menos 1 que nos molesta, para eliminar ese menos 1 vamos a pensar en un numero que al restaro por menos 1 da 0, y cual es ese numero... si pensamos mucho se nos viene la idea del numero +1 entonces si sumamos mas 1 en ambas partes obtenemos:

$e^x+1= y-1+1\\\\ e^x +1= y$

Igualando y a f(x) podemos ver que la funcion inversa es igual a:

$f^{-1}(x)=e^x +1$

Y listo :3... Si queremos encontrar la funcion inversa de cualquier funcion podemos aplicar el mismo metodo