La utilidad mensual de una empresa dedicada ala fabricación de billeteras está expresada por: U(x) = 360x - 2x2+ 8000 soles donde “x” representa la cantidad de billeteras producidas y vendidas. Indique la cantidad de billeteras que debe producirse para hallar la utilidad máxima y cuál es esa utilidad máxima. 100 billeteras: 30 200 soles 95 billeteras; 27 200 soles 90 billeteras; 24 200 soles 80 billeteras; 22 600 soles
Respuestas a la pregunta
La cantidad de billetes que se deben producir para obtener la utilidad máxima es:
90 billetes
La utilidad máxima que obtendrá la empresa es:
24200 soles
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuál es la cantidad de billeteras que debe producirse para hallar la utilidad máxima y cuál es esa utilidad máxima?
Siendo;
U(x) = 360x - 2x² + 8000
Aplicar primera derivada;
U'(x) = d/dx[360x - 2x² + 8000]
U'(x) = 360 - 4x
Aplicar segunda derivada;
U''(x) = d/dx(360 - 4x)
U''(x) = - 4 ⇒ Máximo relativo
Igualar U'(x) a cero;
360 - 4x= 0
4x = 360
x = 360/4
x = 90
Evaluar x = 90 en U(x);
U(max) = 360(90) - 2(90)² + 8000
U(max) = 32400 - 162000 + 8000
U(max) = 24200 soles
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