Question

Los vértices de un triángulo son los puntos A(1,- 5),B (3,3) y C(-1,1) Determinar:

Realizar la gráfica.
La medida del ángulo interior del vértice A.
La altura del triángulo del segmento (AB) ̅ al vértice A
Calcular el área del triángulo

Answer 1

El ángulo interno del vértice A del triángulo ABC es:

α = 32.47°

La altura del triángulo obtenida del segmento AB al vértice C es:

|P| = 3,4

El área del triángulo ABC es:

A = 14 u²

¿Cómo obtener el ángulo de un triángulo dados sus vértice?

Calculando los vectores directores de los lados del triángulo se puede aplicar la formula de ángulo entre dos vectores para hallar el ángulo del vértice A del triángulo.

Vectores

AB = B - A

AB = (3-1; 3+5)

AB = (2, 8)

AC = C - A

AC = (-1-1; 1+5)

AC = (-2, 6)

Aplicar formula del ángulo;

$Cos(\alpha )=|\frac{ AB*AC}{|AB|*|AC|} |$

Siendo;

|AB| = √[(2)²+(8)²]

|AB| = 2√17

|AC| = √[(-2)²+(6)²]

|AC| = 2√10

Producto escalar

AB · AC = 2(-2) + 8(6)

AB · AC = 44

sustituir;

$Cos(\alpha )=|\frac{ 44}{2\sqrt{17}*2\sqrt{10} } |$

Despejar α;

$\alpha =Cos^{-1} |\frac{ 44}{2\sqrt{17}*2\sqrt{10} } |$

α = 32.47°

   

Calcular una recta perpendicular al segmento AB y que pase por el punto C.

m₂ = -1/m₁

siendo;

m₁ = (3+5)/(3-1)

m₁ = 4

Recta AB: y + 5 = 4(x - 1)

                y = 4x - 4 - 5

                y = 4x - 9

sustituir;

m₂ = -1/4

Se cambia del vértice para trazar la recta perpendicular.

Recta CN: y - 1 = -1/4(x + 1)

                 y = -x/4 - 1/4 + 1

                 y = -x/4 + 3/4

Igualar las rectas para hallar el punto de intersección;

4x - 9 = -x/4 + 3/4

17x/4 = 39/4

x = 39/17

y = 4(39/17) - 9

y = 3/17

Punto de intersección:

N(39/17; 3/17)

El modulo de P es la altura del triángulo;

P = N - C

|P| = √[(39/17 + 1)²+(3/17 - 1)²]

|P| = 3,4

El área de un triángulo es el producto de su base por la altura dividido entre dos. Pero al ser conocidos los vértices se aplica:

$A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1\\x_2&y_2\\x_3&y_3\end{array}\right]$

En sentido contrario a las agujas del reloj se colocan los puntos.

Sustituir;

$A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}3&3\\-1&1\\1&-5\\3&3\end{array}\right]$

A = 1/2 [3(1)+(-1)(-5)+(1)(3)-(3)(-5)-(1)(1)-(-1)(3)]

A = 1/2 |11 + 17|

A = 1/2(28)

A = 14 u²

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