Question

Las gráficas de y = - |x + 8| + 6, y = 0 e y = x + k determinan en el segundo cuadrante un trapecio. Si el área de dicho trapecio es 20, el valor de k es:

Answer 1

Véase la imagen adjunta.

El área de un trapecio se puede enunciar con la fórmula:

$A=\frac{(M+m).h}{2}$

Donde M es la base mayor, m la menor y h la altura.

Vamos a calcular el valor de la base mayor entonces:

Base mayor (M):

Según la imagen, la base mayor va a estar dada entre la distancia del punto "D" (el cual es el valor máximo de la función con el valor absoluto) y "B" (el cual es el punto de intersección entre y=0 e y=-|x+8|+6).

Para calcular el punto D, necesitamos saber el valor máximo de la función y=-|x+8|+6. Sin hacer muchas fórmulas (guardemos espacio para más adelante), podemos razonar que el valor máximo se dará cuando el valor absoluto sea nulo (de lo contrario, cualquier valor que salga del absoluto, se volverá negativo por el signo que se encuentra fuera). Entonces:

y=-|-8+8|+6

y=6

El punto D estará dado por (-8;6)

Para calcular el punto B, vamos a transformar la función del absoluto, en una equivalente (pero que solo sirva para valores de x≤-8)

y=-|x+8|+6=x+8+6

y = x + 14

De esta forma, podremos calcular el punto B de una manera más fácil (sabiendo que B es intersección de y=0 e y=x+14):

y=y

0=x+14

x=-14

Entonces, el punto B estará dado por (-14;0)

Luego, la distancia entre ambos estará dada por:

$M=\sqrt{(-14+8)^2+(0-6)^2}=6\sqrt{2}$

Siendo 6√2 el valor de M

Base menor (m):

Aquí las cosas se complican. La base menor estará dada por los puntos A y C. Sin ir a tantos detalles que ya muestra la figura, podremos calcular C de la forma:

y=y

0=x+k

-k=x

Donde C será (-k;0)

Y luego, para calcular A, ajustaremos otra vez la función con el absoluto, por una función equivalente para todos los valores de x≥-8

y=-|x+8|+6=-x-8+6=-x-2

El punto Ax estará dado por:

y=y

-x-2=x+k

-2x-2=k

-2x=k+2

x=-k/2-1

Y el punto Ay por:

y=-x-2

y=-(k/2-1)-2

y=k/2-1

Donde A será (-k/2-1;k/2-1)

Por último, la base menor estará dada por:

$m=\sqrt{(-\frac{k}{2}-1 +k)^2+(\frac{k}{2}-1)^2} \\\\m=\sqrt{2(\frac{k}{2}-1)^2} \\\\m=\sqrt{2(\frac{k^2}{4}-k+1) } \\\\m=\sqrt{\frac{k^2}{2}-2k+2}$

Siendo tal el valor de la base menor.

Altura (k):

Las cosas se nos complicarán más aún. Debemos ahora calcular la distancia entre la base menor y la mayor. Para esto, consideraremos las rectas y=x+14 e y=x+k. Procedemos a pasarlas a sus ecuaciones generales (Ax+By+C=0):

y=x+14 ===> 0=x-y+14

y=x+k ===> 0=x-y+k

Se nos presentan dos rectas paralelas, por lo que podemos calcular la distancia de la siguiente forma:

$h=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2} } =\frac{|14-k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|14-k|}{\sqrt{2} }$

Se nos presenta un valor absoluto que nos podría complicar la resolución. Sin embargo, podemos razonar que como las dos rectas son paralelas, como la recta y=x+14 se encuentra a la izquierda de la recta y=x+k, podemos decir que k<14 (ya que la ordenada al origen se encontrará más arriba con la recta de la izquierda), por lo que podremos decir que:

h=(14-k)/√2

Tenemos todos los datos, podemos formular la ecuación del

Área:

$A=\frac{(M+m)h}{2}\\\\20=\frac{(6\sqrt{2}+\sqrt{\frac{k^2}{2}-2k+2 })*\frac{14-k}{\sqrt2} }{2}$

Se nos presenta entonces una ecuación con la incógnita k de por medio. No haré el despeje aquí, porque costaría otros 10min de texto, por lo que solo incluyo el resultado.

Por lo tanto, después del despeje, el valor de k será igual a 10.

Saludos