Question

Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se pueda hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.

Answer 1

Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se pueda hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.

V = L .A. H

$V = (24-2x) .(24-2x) .x v= (24 -2x) .(24x -2 x^{2} v= 576 x- 96 x^{2} +4 x^{3}$

Hallar el dominio:

$24-2x \ \textgreater \ 0 ; [12 \ \textgreater \ x]$

$[x\ \textgreater \ 0]$

..........................................

Primera derivada

 $V = 4 x^{3}-96 x^{2} +576x v" = 4[3 x^{2} ] -96 [2x] +576 v" = 12 x^{2} -192x+576$

$ax^2+bx+c=0$

$x_{1,\:2}=\frac{-\left(-192\right)\pm \sqrt{\left(-192\right)^2-4\cdot \:12\cdot \:576}}{2\cdot \:12}$

$x1=\frac{-\left(-192\right)+\sqrt{\left(-192\right)^2-4\cdot \:12\cdot \:576}}{2\cdot \:12}$

$x1=\frac{192+\sqrt{9216}}{24} x1 = 12$

$x2=\frac{-\left(-192\right)-\sqrt{\left(-192\right)^2-4\cdot \:12\cdot \:576}}{2\cdot \:12}$

$x2=\frac{192-\sqrt{9216}}{24} x2=4$

Se toma el 4 por el rango del dominio
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Comprobar si el es mas grande (máximo)

Segunda derivada 

v"" = 12[2x] -192

v"" = 96-192

v"" = -96 (Como salio negativo , se considera el máximo Volumen posible )

Una vez hallado que x = 4 se remplaza para hallar el  volumen 

V = [24 -2x] .[24 -2x] .x

v = [24-8]. [24-8] .4

v= 16 . 16. 4

v=1024

RESPUESTA : El volumen mas grande es $1024 in^{3}$