Question

la velocidad del movimiento en el instante t es (t+√t)^2. calcula la distancia recorrida en el tiempo.

Answer 1

$Distancia = \int\limits^a_b {v} \, dt = \int\limits^a_b {(t+ \sqrt{t})^2 } dt\, Desarrollamos el cuadrado de binomio: Distancia = \int\limits^a_b {(t^{2} +2t^{3/2} + t )}dt \,$
Separamos en suma de intregrales: $Distancia = \int\limits^a_b { t^{2} } \, dt + 2\int\limits^a_b {t^3/2} \, dt + \int\limits^a_b {t} \, dt$$Resolvemos: D = \frac{b^{3}-a^{3}}{3} + \frac{4b^{5/2}-4a^{5/2}}{5} +\frac{b^{2}-a^{2}}{2}$
La explicación: La posición es la integral de la velocidad respecto al tiempo, esta posición es una diferencia entre dos puntos (a,b) dados. La resolución de la integral es un tema aparte, pero como se trata de polinomios es sólo sumar 1 al exponente y a la fracción.

Answer 2

La distancia recorrida en función del tiempo esta dado por la función t³/3 + 0.8t + 0.5t²

En física tenemos que la posición por un móvil esta dada por la integral de la velocidad, entonces tenemos que la velocidad es:  (t+√t)², entonces integramos para obtener la velocidad:

∫(t + √t)² = ∫(t² + 2t√t + (√t)²)

= ∫(t² + 2t¹°⁵ + t)

Usamos la linealidad de la integral obtenemos que:

= ∫(t² + 2t¹°⁵ + t) = ∫t² + 2∫t¹°⁵ + ∫t

Usamos la fórmula de la integral de una potencia

= t²⁺¹/(2 + 1) + 2t¹°⁵ ⁺¹/(1.5 + 1) + t¹⁺¹/(1 + 1) + C

= t³/3 + t²°⁵/2.5 + t²/2 + C=

= t³/3 + 0.8t + 0.5t² +C

Donde C es la posición inicial, entonces la distancia recorrida es:

t³/3 + 0.8t + 0.5t²

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