Question

La siguiente gráfica muestra el diseño que corresponde a la instalación de una torre de comunicación sostenida en el piso por dos cables.
Los puntos de amarre del cable en el piso tienen una separación de 24 metros y los puntos de amarre del cable a la torre, la divide en 3 partes iguales de la misma longitud.
• ¿Cuántos metros de cable se necesita para 25 torres?
• Desarrolle el problema planteado líneas abajo.
• Grafique correctamente los símbolos y signos del problema planteado

Answer 1

Respuesta:

Para 25 torres se necesitan 750 metros de cable

Explicación paso a paso:

Por fa, observa la imagen adjunta, a medida que vaya avanzando el paso a paso:

El ejercicio dice que los puntos de amarre del cable a la torre, la dividen en 3 segmentos iguales. En la gráfica adjunta puedes ver dichos segmentos FD=DB=BC, cada uno de ellos designado con la letra "h" en color rojo.

Si giramos el triángulo ACB hacia la derecha, manteniendo como eje el lado BC, formamos el triángulo BCG, cuyo ángulo en G, tendrá también 37 grados, puesto que se trata del mismo triángulo ACB, pero ahora, con su ángulo A ubicado en la posición G.

Tenemos entonces, que los triángulos BCG y DCE son semejantes; y si el segmento DB es igual al segmento BC, entonces el segmento CG es igual al segmento GE ( o si prefieres, planteas que el lado DC es al lado BC, como el lado CE es al lado CG)

Con lo anterior tenemos que el segmento AE cuya medida es 24 m, está dividido por partes iguales, en los segmentos AC, CG y GE, lo cual implica que cada uno de dichos segmentos mide 8 m   (porque 24m/3m=8m)

Ahora necesitamos conocer la longitud del cable "b" (en azul), o sea el segmento AB que va desde  el punto de amarre A, del piso, hasta el punto de amarre B a la torre.

Ese cable "b" es la hipotenusa del triángulo rectángulo ACB; en el cual, el lado AC es el adyacente al ángulo de 37°; por tanto, para hallar la hipotenusa, usamos la razón trigonométrica "coseno" que relaciona el cateto adyacente con la hipotenusa:

$cos=\frac{ady}{hip}\\\\hip=\frac{ady}{cos}=\frac{8m}{cos37}=10m$

Es decir, la longitud del cable "b", es 10m.

Ahora necesitamos conocer la longitud del cable "a", que es la hipotenusa del triángulo DCE. Pero para eso, necesitamos saber la medida del cateto DC, que ya sabemos que está dividido en dos segmentos iguales. Por tanto, podemos calcular "h" aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ACB, del cual ya conocemos la hipotenusa y un cateto; por tanto:

$10^{2}=h^{2}+8^{2}\\h^{2}=10^{2}-8^{2}\\h^{2}=100-64\\h^{2}=36\\h=\sqrt{36}\\h=6m$

Si el segmento CB mide 6m y es igual a DB, entonces, el cateto DC mide 12m.

Y en cuanto al lado CE del triángulo DCE, vemos que está formado por los segmentos CG y GE, cada uno de los cuales mide 8m, por lo que el cateto medirá 16m.

Con estos dos últimos datos, ya podemos calcular el cable "a" que es la hipotenusa del triángulo DCE

$a^{2}=16^{2}+12^{2}\\a^{2}=256+144\\a^{2}=400\\a=\sqrt{400}\\a=20m$

Es decir, la longitud del cable "a" es 20m

Ahora sumamos las longitudes de los dos cables:

a+b=20m+10m

a+b=30 m

Cada torre necesita de 30 metros de cable.

Nos piden para 25 torres:

30m*25=750m  

Respuesta: Para 25 torres se necesitan 750 metros de cable.

Answer 2

Para instalar las 25 torres se requiere un total de 479,25 metros de cable

Sea "x" la base del triángulo rectángulo de la izquierda

Sea "y" la base del triángulo rectángulo de la derecha

Sea "3h" la altura de la torre, donde cada amarre tiene una altura de "h" del otro

Sabemos que:

1. x + y = 24 m

Triángulo de la izquierda:

tan(37°) = h/x

Triángulo de la derecha:

tan(37°) = 2h/y

Igualando:

h/x = 2h/y

1/x = 2/y

y = 2x

Sustituimos en 1:

x + 2x = 24 m

3x = 24 m

x = 24 m/3

x = 8 m

y =2*8m = 16 m

a) amarre del piso del cable más largo al pie de la torre: es lo que llamamos y y es igual a 16 metros

b) altura de la torre: será:

tan(37°) = 2h/16

tan(37°) = h/8

h = tan(37°)*8

h = 6,03 metros

Entonces la altura es: 3h = 3*6,03 m = 18,09 m

c) Longitud de cada cable:

Cable derecho: es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de ángulo 37° y cateto adyacente 16 m, que será:

cos(37°) = 16 m/H

H = 16 m *cos(37°) = 12,78 m

Cable izquierdo: es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de ángulo 30° y cateto adyacente 8 m, que será:

cos(37°) =  8 m/H

H = 8 m *cos(37°) = 6,39 m

d) para instalar las 25 torres de comunicación: sumamos la longitud de cada cable que será: 6,39 m + 12,78 m = 19,17 m, se necesita entonces: 25*19,17 = 479,25 m

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