La potencia de una hélice impulsora de un generador eólico es P = K ω'x . r'y . D'z siendo:
ω = velocidad angular
r = radio de la hélice
D = densidad del aire
Hallar x, y, z, aplicando la ecuación dimensional
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12
Para la resolución de este problema, sabemos que:
Para la potencia (P), la fórmula original es:
P = K.w^x.r^y.D^z
Se sabe que [P] = M * L^2 * T^ -3
donde [P] = dimensiones de la potencia, M = masa, L = longitud y T = tiempo.
Es decir, que las dimensiones de la potencia es igual a la masa x longitud al cuadrado x tiempo a la menos 3.
Las dimensiones del lado derecho de la ecuación han de ser iguales a las dimensiones del lado izquierdo, por tanto:
[P] = [K * w^x * r^y * D^z] → [P] = [K]*[w^x]*[r^y]*[D^z]
Se sabe que:
- siendo K un número (faltó expresarlo en la pregunta, pero que es así), K no tiene dimensiones.
-siendo la velocidad angular, [w] = T^-1, es decir, tiempo a la menos 1
-siendo r el radio, [r] = L, es decir, longitud
-siendo D la densidad, [D] = M*(L^ - 3), es decir, masa por longitud a la menos 3
Entonces, cuando igualamos las dimensiones de ambos miembros (izquierdo y derecho), se obtiene:
M*L^2*T^-3 = (T^-1)^x * (L)^y * (M*L^ - 3)^z
Ahora igualamos los exponentes de las cantidades con bases iguales
De manera que nos quede:
A partir de T^-3 y T^ -x, se obtiene x = 3
A partir de M (lado izquierdo) y M^z (lado derecho), se obtiene z = 1
A partir de L^2 (lado izquierdo) y (L^y) * (L^ -3z) lado derecho, se obtiene y - 3z = 2 → y = 2 + 3z = 2 -3(1) = 5
De acuerdo a los resultados, obtuvimos los valores requeridos para x, y,z → x = 3, y = 5, z = 1
Para la potencia (P), la fórmula original es:
P = K.w^x.r^y.D^z
Se sabe que [P] = M * L^2 * T^ -3
donde [P] = dimensiones de la potencia, M = masa, L = longitud y T = tiempo.
Es decir, que las dimensiones de la potencia es igual a la masa x longitud al cuadrado x tiempo a la menos 3.
Las dimensiones del lado derecho de la ecuación han de ser iguales a las dimensiones del lado izquierdo, por tanto:
[P] = [K * w^x * r^y * D^z] → [P] = [K]*[w^x]*[r^y]*[D^z]
Se sabe que:
- siendo K un número (faltó expresarlo en la pregunta, pero que es así), K no tiene dimensiones.
-siendo la velocidad angular, [w] = T^-1, es decir, tiempo a la menos 1
-siendo r el radio, [r] = L, es decir, longitud
-siendo D la densidad, [D] = M*(L^ - 3), es decir, masa por longitud a la menos 3
Entonces, cuando igualamos las dimensiones de ambos miembros (izquierdo y derecho), se obtiene:
M*L^2*T^-3 = (T^-1)^x * (L)^y * (M*L^ - 3)^z
Ahora igualamos los exponentes de las cantidades con bases iguales
De manera que nos quede:
A partir de T^-3 y T^ -x, se obtiene x = 3
A partir de M (lado izquierdo) y M^z (lado derecho), se obtiene z = 1
A partir de L^2 (lado izquierdo) y (L^y) * (L^ -3z) lado derecho, se obtiene y - 3z = 2 → y = 2 + 3z = 2 -3(1) = 5
De acuerdo a los resultados, obtuvimos los valores requeridos para x, y,z → x = 3, y = 5, z = 1
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