La población de cierto país fue de 37.5 millones de personas en el año de 1985. Si se supone que el crecimiento de la población obedece al siguiente modelo:
P' = 0.009 P P(0) = 37.5 millones
donde P(t) es el tamaño de la población en el tiempot yt se mide en años.
a) Establece el número de personas que tendrá la población en el año de 2085
b) Bosqueja la gráfica de P(t)
Respuestas a la pregunta
La población del país, de acuerdo al modelo matemático dado, en 2085 será de 92.2 millones de personas, aproximadamente.
¿Qué es un modelo exponencial de crecimiento?
El modelo exponencial de crecimiento o modelo de Malthus es un modelo matemático que explica el crecimiento de una población de manera proporcional al tamaño de la población en un instante cualquiera.
En el caso estudio, no se muestra la expresión del modelo, lo que se presenta es la expresión como razón de cambio de la población (P) con respecto al tiempo (t). Para obtener el modelo, se debe resolver esa ecuación diferencial:
P' = dp/dt = 0.009 P ⇒ dp/P = 0.009 dt
Una vez separadas las variables, se integran ambos lados de la igualdad
∫dp/P = 0.009 ∫dt ⇒ Ln(P) = 0.009 t + C
donde C es una constante de integración
Ahora, usamos propiedades de las exponenciales para despejar P
Finalmente, sustituimos el valor de D por el de la población inicial
Con el modelo respondemos a) y b)
a) Establece el número de personas que tendrá la población en el año de 2085
Desde 1985 hasta 2085 hay 100 años, por lo que se sustituye t = 100
La población del país, de acuerdo al modelo matemático dado, en 2085 será de 92.2 millones de personas, aproximadamente.
b) Bosqueja la gráfica de P(t)
En la figura anexa se observa la gráfica de P(t).
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