Question

La figura muestra 3 circulos iguales tangentes entre si , si el area de la region sombreada es 64raiz cuadrada de 3-32π ¿Cual es el radio del circulo? (UTILIZANDO EL TRIANGULO EQUILATERO)

tomando encuenta que la primera foto no tiene el triangulo equilatero todavia

Answer 1

Conocemos el área total del triángulo equilatero, cuya fórmula es:

$AREA = \frac{ \sqrt{3} }{4} * a^{2}$

Donde a es la medida del lado de los triángulos

Por otra parte el área total del triángulo equilatero será:

Área triángulo = Área zona sombreada + 3 veces el área de 1/6 de circunferencia

$\frac{ \sqrt{3} }{4} * a^{2} =64 \sqrt{32 \pi } + 3* \frac{ \pi r^{2} }{6}$

*Nota: No tome el área sombreada como √3 - 32π, ya que esto no puede resolverse no existen raíces de números negativos

$\frac{ \sqrt{3} }{4} * a^{2} =64 \sqrt{32 \pi } + \frac{ \pi r^{2} }{2}$

Si observamos el dibujo se puede deducir que la mitad de un lado es igual al radio del circulo, entonces:

$\frac{a}{2} =r$, si despejamos a

a = 2r, sustituimos esto en la relación planteada

$\frac{ \sqrt{3} }{4} * (2r)^{2} =64 \sqrt{32 \pi } + \frac{ \pi r^{2} }{2}$

$\frac{ \sqrt{3} }{4} * 4r^{2} =64 \sqrt{32 \pi } + \frac{ \pi r^{2} }{2}$

$\sqrt{3} r^{2} =64 \sqrt{32 \pi } + 0.5 \pi r^{2}$

$\sqrt{3} r^{2} - 0.5 \pi r^{2} =64 \sqrt{32 \pi }$

$0.16r^{2} =64 \sqrt{32 \pi }$

$0.16r^{2} =641.7$

$r = \sqrt{4010.6}=63.33$