Question

La figura está formada por dos cuadrados de lados 4 y 5 cm, un triángulo de área 8 cm2, y un paralelogramo. ¿Cuál es, en cm2, el área del paralelogramo?

Answer 1

Antes de poder graficar la figura correctamente, necesitaremos conocer el valor de los ángulos del triángulo.

Conocemos que el área del triángulo es igual a 8cm² y que lo podemos calcular en base a:

$A=\frac{b*h}{2}\\ \\8*2=b*h\\\\b*h=16$

Como no conocemos ni la base ni la altura, debemos encontrar mas ecuaciones que contengan sus valores.

Si trazamos una perpendicular desde la base del triángulo hasta su vértice superior, podremos dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos, donde el cateto compartido es la altura, la hipotenusa de cada uno son los lados del cuadrado, y el otro cateto son diferentes partes de la base (a las que llamaremos "x" e "y", de tal forma que x+y=b)

Por lo tanto:

$x^2+h^2=4^2\\\\x=\sqrt{16-h^2} \\\\y^2+h^2=5^2\\\\y=\sqrt{25-h^2}$

Luego:

$b*h=16\\\\(x+y)*h=16\\\\(\sqrt{16-h^2} +\sqrt{25-h^2} )*h=16$

Aplicando un poco de álgebra:

$h=16*\frac{\sqrt{65} }{65} \\\\h=16*\frac{\sqrt{17} }{17}$

Nos encontramos entonces con que la altura puede llegar a tener dos valores (y con ello cambiar la forma del triángulo y del paralelogramo). Por lo tanto, debemos realizar todas las fórmulas de tal forma que las podamos adaptar a cada altura.

Con los datos obtenidos, podemos armar entonces una gráfica (tomando cualquiera de los valores) y con esto poder ver los ángulos y los lados. Véase la imagen adjunta.

El ángulo alfa y gama los podemos conseguir en base a la altura y cada hipotenusa, siendo entonces:

$\alpha = sen^{-1}(\frac{h}{4} )\\\\\gamma = sen^{-1}(\frac{h}{5} )$

Y al ángulo beta restandole a 180 los ángulos alfa y gamma:

$\beta =180-\alpha -\gamma$

Por otro lado, si trazamos una perpendicular desde la base del cuadrado más grande hasta el vértice izquierdo del cuadrado más chico, obtenemos el segmento correspondiente a la altura del paralelogramo. Además, vemos que se forma un triángulo rectángulo.

Podemos calcular el valor de la altura sabiendo que:

$sen(\epsilon)=\frac{h_1}{4}$

$h_1=sen(\epsilon)*4$

Y como epsilon, junto con beta y los ángulos rectos del cuadrado forman un ángulo de 360°, entonces:

$\epsilon + \beta + 90 +90 =360\\\\\epsilon =180 - \beta\\\\\epsilon = 180 - (180 - \alpha - \gamma)\\\\\epsilon = \alpha + \gamma\\\\\epsilon=sen^{-1}(\frac{h}{4} )+sen^{-1}(\frac{h}{5} )$

Lo que implica que:

$h_1=sen(sen^{-1}(\frac{h}{4} )+sen^{-1}(\frac{h}{5} ))*4$

Por último, tenemos que el área del paralelogramo es:

$A=b*h_1$

Donde "b" es la base del mismo (en nuestro caso es el lado del cuadrado de lado 5). Por lo tanto:

$A=5*sen(sen^{-1}(\frac{h}{4} )+sen^{-1}(\frac{h}{5} ))*4\\\\A=20*sen(sen^{-1}(\frac{h}{4} )+sen^{-1}(\frac{h}{5} ))$

Nos queda entonces reemplazar "h" para cada uno de los valores, y obtener los valores del área posibles. Por lo tanto:

Para h=16*(√65/65)

A=16

Y para h=16*(√17/17)

A=16

Tenemos entonces que para ambos valores de "h", el área correspondiente será igual a 16.

Saludos.