Question

. La ecuación diferencial (3xy)dx+(3x^2 )dy=0, es inexacta puesto que ∂M/∂y≠∂N/∂x, pero se puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor μ(y)=1/y^(-3) se obtiene que ∂M/∂y=∂N/∂x. La afirmacion y la razon son correctas?

Answer 1

Para verificar que μ(y) = $\frac{1} { y^{-3}}$ es el factor que vuelve la ED Exacta, vamos a calcular primero, ∂M/∂y y ∂N/∂x, siendo 

M= (3x²)

N= 3xy 

∂M/∂y = ∂(3x²)/∂y = 0 

∂N/∂x= ∂3xy/∂x= 3y 

De esta forma si igualamos las parciales nos daremos cuenta que ∂M/∂y≠∂N/∂x. 

Entonces la teoria nos dice que al multiplicar la ED por el factor integrante la ecuación debe ser exacta. entonces vamos a multiplicar la ED por μ(y)

 $\frac{1} { y^{-3}}$ (3xy)dx +  $\frac{1} { y^{-3}}$ (3x^2 )dy=0 

$\frac{3xy} { y^{-3}} dx+ \frac{3 x^{2} } { y^{-3}}dy$=0 


∂N/∂x= ∂$\frac{3xy} { y^{-3}}$/∂x = ∂3xy⁴/∂x = 3y⁴

∂M/∂y = ∂$\frac{3 x^{2} } { y^{-3}}$/∂y= ∂3x²y³/∂y= 3x²(3)y²= 9x²y²

Podemos notar que al multiplicar el factor integrante que nos da el resultado, las ecuaciones siguen siendo INEXACTAS, por lo que el factor integrante es errado.