Question

La distancia entre los puntos A (7,2) y B(x, -6) es 10 unidades. ¿Cuál es el punto?.

Answer 1

Respuesta:

El punto B puede ser:

$\[\left \{\begin{array}{r} x_{1} \Rightarrow B (19.80625,-6) \\ x_{2} \Rightarrow B (-5.80625,-6) \end{array}$

Explicación:

La distancia entre los puntos $A \: (7,2)$ y $B \: (x,-6)$ es de 10 unidades. Para determinar el punto B con exactitud se hará uso de la fórmula:

$d(A,B) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Sustituiremos los datos conocidos y efectuamos las operaciones necesarias para determinar, en este caso, el valor de $x_{2}$

$10 = \sqrt{[x-7]^{2}-[-6-2]^{2}}$

$(10)^{2} = ( \: \sqrt{[x-7]^{2}-[-6-2]^{2}} \: \: )^{2}$

$100 = [x-7]^{2}-[-6-2]^{2}$

$100 = [x-7]^{2}-[-8]^{2}$

$100 = [x-7]^{2}-64$

$[x-7]^{2} = 100+64$

$x^{2}-14x+49 = 164$

$x^{2}-14x+49 - 164 = 0\\x^{2}-14x-115 = 0$

Aplicamos ecuación cuadrática para determinar las raíces de x:

$x = \frac{ -b \: \pm \: \sqrt{b^{2} - 4ac} }{2a}$

$x = \frac{ -(-14) \: \pm \: \sqrt{(-14)^{2} - 4(1)(-115)} }{2(1)}$

$x = \frac{ 14 \: \pm \: \sqrt{196 + 460} }{2}$

$x = 7 \: \pm \: \frac{\sqrt{656} }{2}$

$x = 7 \: \pm \: 2\sqrt{41}$

Determinando valores de x

$x_{1} = 7 + 2\sqrt{41} \\ x_{1} = 7 + 12.80625 \\ x_{1} = 19.80625$

$x_{2} = 7 - 2\sqrt{41} \\ x_{2} = 7 - 12.80625 \\ x_{2} = -5.80625$

Por tanto, para que se cumpla la condición el punto B puede ubicarse en:

$\[\left \{\begin{array}{r} x_{1} \Rightarrow B (19.80625,-6) \\ x_{2} \Rightarrow B (-5.80625,-6) \end{array}$