la diferencia de dos números es 12 y la suma de sus Media Aritmética y su Media Geométrica es 18. Calcular su Media Armónica
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
6.4
Explicación paso a paso:
Sean los números a y b:
b-a=12 ...donde b= 12+a
MA+MG=18
Hallamos la MA:
(a+b)/2 = [a +(12+a)]/2 = (2a+12)/2=a+6
Hallamos la MG:
√a.b = √a(12+a) = √(a²+12a)
También: MA+MG=18
a+6 + √(a²+12a) = 18
a+√(a²+12a)=12
√(a²+12a)=12-a
Elevando al cuadrado:
(a²+12a)=(12-a)²
a²+12a= 14-24a+a²
Quedando:
36a=144
a=4 Entonces b=12+4=16
Piden hallar la media Armónica (MH):
MH= 2/ (1/a + 1/b) = 2 / (a+b/ab) =2ab/(a+b)
MH=2(4)(16)/(4+16)
MH=128/20
MH=6.4
Reemplazamos:
MH=2
La media armónica de los dos números, cuya suma de medias geométrica y aritmética es 18, es igual a 6.4.
¿Cómo se calculan la media aritmética, la media geométrica y la media harmónica de dos números a y b?
Media Aritmética = Ma = (a + b) / 2
Media Geométrica = Mg = √(a b)
Media Harmónica = Mh = (2 a b) / (a + b)
A partir de estas expresiones y la información conocida, vamos a construir un sistema de ecuaciones que nos permita conocer los números a y b y calcular la media armónica:
a - b = 12
[(a + b) / 2] + √(a b) = 18
Aplicamos el método de sustitución, despejando a de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:
a = b + 12 ⇒
{[(b + 12) + b] / 2} + √[(b + 12)(b)] = 18 ⇒
b + 6 + √[(b + 12)(b)] = 18 ⇒ √[(b + 12)(b)] = 12 - b
Ahora, tomamos cuadrados a ambos lados de la ecuación
{√[(b + 12)(b)]}² = (12 - b)² ⇒ (b + 12)(b) = (12 - b)²
Resolvemos los productos y resolvemos
b² + 12 b = 144 - 24 b + b² ⇒ b = 4
De aquí a = (4) + 12 = 16
Conocidos a y b, calculamos la media armónica
Mh = (2 a b) / (a + b) = [(2) (16) (4)] / [(16) + (4)] = 6.4
La media armónica de los dos números, cuya suma de medias geométrica y aritmética es 18, es igual a 6.4.
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