Question

La cantidad de números de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y múltiplos de cinco o seis es

22
23
24
25
26

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Cuadrados perfectos

$\textbf{Problema :}$

Encuentre la cantidad de números de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y múltiplos de cinco o múltiplos de seis.

RESOLUCIÓN

Si se trata de un número $\textrm{N}$ que es de cuatro cifras ello implica $1000 \leq \textrm{N} < 10000$ y como $\textrm{N}$ es un cuadrado perfecto, podemos decir $\textrm{N} = n^{2}$.

Con esto $1000 \leq n^{2} < 10000\ \to\ 31,62... \leq n < 100$. Es decir $n$ se encuentra desde $32$ hasta $99$, no olvide que $n$ es un entero.

Además por condición $\textrm{N}$ debe ser múltiplo de $5$, es decir, $\textrm{N} = \dot{5}$ en otros términos $n^{2} = \dot{5}$ y esto solo es posible si $n = \dot{5}$ análogamente $\textrm{N}$ también puede ser un múltiplo de $6$, en consecuencia $n^{2} = \dot{6}$ y esto solo es posible si $n = \dot{6}$.

Si queremos hallar la cantidad valores de $\textrm{N}$ para los cuales es cuadrado perfecto, y además es múltiplo de $5$ o de $6$, solo es suficiente con hallar los valores de $n$.

Empecemos con los valores de $n$ que son múltiplo de $5$. Bien sabemos que $n$ se encuentra necesariamente desde $32$ hasta $99$ y si es múltiplo de $5$ entonces su última cifra termina en cero o cinco. Con esto es más sencillo hallar los valores de $n$.

$n = \{ 35;\ 40;\ 45;\ 50;\ 55;\ 60;\ 65;\ 70;\ 75;\ 80;\ 85;\ 90;\ 95 \}$

Ahora de manera análoga encontremos los valores de $n$ que son múltiplo de $6$.

$n = \{ 36;\ 42;\ 48;\ 54;\ 60;\ 66;\ 72;\ 78;\ 84;\ 90;\ 96 \}$

Con esto ya tenemos todos los valores de $n$ para los cuales se cumple la condición del problema. Notemos que hay valores que se repiten, debemos contar solo uno de dichos valores, ya que de no hacerlo estaríamos contando de más.

Contando nos daremos cuenta que existen $22$ valores para $n$ y por ende para $\textrm{N}$.

RESPUESTA

$\textrm{Existen 22 n\'umeros}$