Question

- Integrales por sustitución.
Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución.

Ejercicio b.

Answer 1

Solución: la integral $\int {\frac{dt}{\sqrt{(1+t^{2})*ln(t+\sqrt{1+t^{2}})}} }$  es igual a $2*\sqrt{ln(t+\sqrt{1+t^{2}})} +C =$

¿Por qué?

Integral de una potencia: la integral de una variable elevado a una potencia con respecto a dicha variable sera:

$\int {x^{n}} \, dx = \frac{x^{n+1} }{n+1} + C$

Tenemos:

$\int {\frac{dt}{\sqrt{(1+t^{2})*ln(t+\sqrt{1+t^{2}})}} } \, = \int {\frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}} \sqrt{ln(t+\sqrt{1+t^{2}})}} } \,$

Hacemos sustitución u:

$u=ln(t+\sqrt{1+t^{2}})$

⇒ $du=\frac{1}{t+\sqrt{1+t^{2}} } *(t+\sqrt{1+t^{2}} )'=\frac{(t+\sqrt{1+t^{2}} )'}{t+\sqrt{1+t^{2}} } dt$

$=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{1+t^{2}}}*2t }{t+\sqrt{1+t^{2}} }= \frac{1+\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} }{t+\sqrt{1+t^{2}} } dt$

$=\frac{\frac{\sqrt{1+t^{2}}+t}{\sqrt{1+t^{2}}} }{\frac{t+\sqrt{1+t^{2}}}{1}} dt$

Simplificando:

$=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$

⇒$du=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} dt$

Sustituyendo en la integral:

$\int {\frac{dt}{\sqrt{1+t^{2}} \sqrt{ln(t+\sqrt{1+t^{2}})}} } = \int {\frac{du}{\sqrt{u}}} = \int {u^{\frac{-1}{2}}du}$

Usando la formula de integral de una potencia:

$\int {u^{\frac{-1}{2}}du}= 2 *u^{\frac{1}{2}} +C = 2\sqrt{u} +C$

Sustituimos el valor de U

$2*\sqrt{ln(t+\sqrt{1+t^{2}})} +C$