Question

Integración por partes: obtener el área, por la gráfica y=ln(x-2), eje x y la recta x=5.

A=$\int\limits^5_3 ln({x}-2) \, dx$
Alguna persona que me ayude a sacar esa integral por partes.

Answer 1

Respuesta:

$A=3ln(3)-2=1.2958unidades^2$

Explicación paso a paso:

$\int\limits^5_3{ln(x-2)} \, dx$

Aplicamos integración por partes:

$\int\limits {udv} \, dx=uv- \int\limits {vdu} \, dx$

Tomamos u y dv:

$u=ln(x-2); dv=dx$

Hallamos du y v:

$du=\frac{1}{x-2}dx$

$v=x$

Reemplazamos:

$\int\limits^5_3{ln(x-2)} \, dx=xln(x-2)|^5_2-\int\limits^5_3{\frac{x}{x-2} } \, dx$

Aplicamos los limites de $xln(x-2)|^5_2$:

Recordar que el ln(1)=0

$(5)ln(5-2)-(3)ln(3-2)=5ln(3)$

Resolvemos $-\int\limits^5_3{\frac{x}{x-2} } \, dx$ mediante sustitución simple:

$u=x-2\\du=dx\\x=u+2$

Limites:

Si x=3 entonces u=3-2, u=1

Si x=5 entonces u=5-2, u=3

$-\int\limits^3_1{\frac{u+2}{u} } \, du$

Separamos fracciones homogéneas:

$=-\int\limits^3_1{\frac{u}{u} } \, du-\int\limits^3_1{\frac{2}{u} } \, du$

Resolvemos las integrales directas:

$=-\int\limits^3_1{ } \, du-\int\limits^3_1{\frac{2}{u} } \, du$

$=(-u-2ln(u))^3_1$

Aplicamos los limites:

$=-3-2ln(3)+1+2ln(1)=-2-2ln(3)$

Sumamos con $5ln(3)$

$A=$$-2-2ln(3)+5ln(3)=3ln(3)-2$

En decimales:

$A=3ln(3)-2=1.2958unidades^2$