Indicar el quinto termino de una progresion geometrica de 7 terminos, si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres ultimos 2106
opciones:
a) 42 b) 216 c) 152 d) 162 e)144
Respuestas a la pregunta
El quinto término de una progresión geométrica de 7 términos, sabiendo que la suma de los tres primeros términos es 26, y la suma de los tres últimos es 2016, es 162, opción d.
* La fórmula de suma de términos en una progresión geométrica es:
Sn = (an×r – a1)/(r – 1)
* La fórmula del término general es:
an = a1 × rⁿ⁻¹
- Suma de los tres primeros términos: 26
26 = (a3×r – a1)/(r – 1)
Sustituimos a3 por el término general:
26 = ((a1 × r²) × r – a1)/(r – 1)
26 = ((a1 × r³ – a1)/(r – 1)
26 = a1(r³– 1)/(r – 1) Ecuación 1
- Suma de los tres últimos términos: 2106
26 = (a7×r – a5)/(r – 1)
Sustituimos a7 y a5 por el término general:
26 = ((a1 × r⁶) × r – (a1 × r⁴)/(r – 1)
26 = ((a1 × r⁷ – a1 × r⁴)/(r – 1)
26 = a1(r⁷– r⁴)/(r – 1) Ecuación 2
- Cálculo de r (dividiendo la ecuación 2 por la ecuación 1)
2106/26 = a1(r⁷– r⁴)/(r – 1)/a1(r³– 1)/(r – 1)
81 = (r⁷– r⁴)/(r³– 1)
81 = r⁴(r³– 1)/(r³– 1)
81 = r⁴
r = 3
- Cálculo del primer término
Sustituimos este valor en la ecuación 1 para calcular el primer término.
26 = a1(3³– 1)/(3 – 1)
26 = a1(27 – 1)/2
26 × 2 = a1(26)
52/26 = a1
a1 = 2
- Cálculo del quinto término
a5 = a1 × r⁴
a5 = 2 × 3⁴
a5 = 2 × 8
a5 = 162
La progresión geométrica es: 2; 6; 18; 54; 162; 486: 1458