Question

IDENTIDADES TRIGONOMETRÍCAS
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Answer 1

Respuesta:

Las Identidades Trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para Triángulos Rectángulos. (Si no se trata de triángulos rectángulos, revisa la página de Identidades de Triángulos).

Cada lado de un triángulo rectángulo tiene un nombre:

triángulo que muestra opuesto, adyacente e hipotenusa

ejemplos de opuesto, adyacente e hipotenusa

Adyacente es el que está al lado del ángulo

Y Opuesto es el opuesto al ángulo

Pronto vamos a jugar con todo tipo de funciones, pero recuerda que todo siempre regresa a ese simple triángulo con:

Ángulo θ

Hipotenusa

Adyacente

Opuesto

Seno, coseno y tangente

Las funciones principales en trigonometría son Seno, Coseno y Tangente

Estas funciones son simplemente un lado de un triángulo rectángulo dividido por otro.

Para un triángulo rectángulo con un ángulo "θ":

sin = opuesto / hipotenusa, cos = adyacente / hipotenusa, tan = opuesto / adyacente

Función Seno:

sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa

Función Coseno:

cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa

Función Tangente:

tan(θ) = Opuesto / Adyacente

Para un ángulo dado θ cada relación permanece igual

no importa cuán grande o pequeño sea el triángulo

Nota: recuerda que Seno tiene dos abreviaciones en español: sen y sin.

Cuando dividimos seno por coseno obtenemos:

sin(θ)

cos(θ)

 =  

Opuesto/Hipotenusa

Adyacente/Hipotenusa

 =  

Opuesto

Adyacente

 = tan(θ)

Así que podemos decir:

tan(θ) =  

sin(θ)

cos(θ)

Esa es nuestra primera Identidad Trigonométrica.

Cosecante, secante y cotangente

También podemos dividir "al revés" (como Adyacente/Opuesto en vez de Opuesto/Adyacente):

triángulo que muestra opuesto, adyacente e hipotenusa

Función Cosecante:

csc(θ) = Hipotenusa / Opuesto

Función Secante:

sec(θ) = Hipotenusa / Adyacente

Función Cotangente:

cot(θ) = Adyacente / Opuesto

Ejemplo: cuando Opuesto=2 e Hipotenusa=4 entonces

sin(θ) = 2/4, y csc(θ) = 4/2

Por todo lo anterior podemos decir:

sin(θ) = 1/csc(θ)

cos(θ) = 1/sec(θ)

tan(θ) = 1/cot(θ)

Y a la inversa:

csc(θ) = 1/sin(θ)

sec(θ) = 1/cos(θ)

cot(θ) = 1/tan(θ)

Y también tenemos:

cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)

Teorema de Pitágoras

Para las próximas identidades trigonométricas comenzamos con el Teorema de Pitágoras:

triángulo rectángulo abc

El Teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de a más el cuadrado de b es igual al cuadrado de c:

a2 + b2 = c2

Si dividimos todo por c2 tenemos

a2

c2

+  

b2

c2

=  

c2

c2

Lo cual se puede simplificar a esto:

(

a

c

)2 + (

b

c

)2 = 1

Ahora, a/c es Opuesto/Hipotenusa, lo que es sin(θ)

Y b/c es Adyacente/Hipotenusa, lo que es cos(θ)

Así que (a/c)2 + (b/c)2 = 1 también se puede escribir así:

sin2 θ + cos2 θ = 1

Nota:

sin2 θ significa encontrar el seno de θ, luego elevar al cuadrado el resultado y

sin θ2 significa elevar al cuadrado θ, luego aplicar la función seno

Ejemplo: 32°

Usando solo 4 decimales:

sin(32°) = 0,5299...

cos(32°) = 0,8480...

Ahora, calculemos sin2 θ + cos2 θ:

0,52992 + 0,84802

= 0,2808... + 0,7191...

= 0,9999...

Nos acercamos mucho a 1 usando solo 4 decimales. Pruébalo en tu calculadora, ¡podrías obtener mejores resultados!

Las identidades relacionadas incluyen:

sin2 θ = 1 − cos2 θ

cos2 θ = 1 − sin2 θ

tan2 θ + 1 = sec2 θ

tan2 θ = sec2 θ − 1

cot2 θ + 1 = csc2 θ

cot2 θ = csc2 θ − 1

¿Cómo se pueden recordar?

Las identidades mencionadas hasta ahora pueden recordarse

usando un diagrama ingenioso llamado Hexágono Mágico:

 hexágono mágico

¡Pero espera... Hay más!

Hay muchas más identidades ... aquí están algunas de las más útiles:

Identidades del Ángulo Negativo

sin(−θ) = −sin(θ)

cos(−θ) = cos(θ)

tan(−θ) = −tan(θ)

Identidades del Ángulo Doble

sin 2a = 2tan(a)/[1+tan^2(a)]

cos 2a

tan 2a

Identidades de la Mitad del Ángulo

Observa que "±" significa que puede ser cualquiera de las dos, dependiendo del valor de θ/2

sin a/2

cos a/2

tan a/2

cot a/2

Identidades de Suma y Resta de Ángulos

Observa que más/menos significa que puedes usar más o menos, y el menos/más significa que debes usar el signo opuesto.

sin(A más/menos B) = sin(A)cos(B) más/menos cos(A)sin(B)

cos(A más/menos B) = cos(A)cos(B) menos/más sin(A)sin(B)

tan(A más/menos B) =  

tan(A) más/menos tan(B)

1 menos/más tan(A)tan(B)

cot(A más/menos B) =  

cot(A)cot(B) menos/más 1

cot(B) más/menos cot(A)

Identidades de triángulos

También hay Identidades de Triángulos que se aplican a todos los triángulos (no solo a los triángulos rectángulos).

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 8 Question 9 Question 10  

Seno, Coseno y Tangente

Círculo Unitario

Explicación paso a paso: