Question

Holaaaa Necesito Hacer Un Ejercicio de Método Gauss! 5 Estrellas al que solucione bien y 20 puntos!
2x - y + 3z = -3
x + y - z = 2
-x + 2y + 2z = -7

Answer 1

Bueno el método de Gauss, nos dice que hagamos ceros bajo la diagonal...el método de Gauss-Jordan nos dice que hagamos ceros por encima y debajo de la diagonal...
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones...

$2x-y+3z=-3 \\ x+y-z=2 \\ -x+2y+2z=-7$

Ahora vamos a realizar la matriz ampliada multiplicada por las variables igualada a los coeficientes.

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&1&-1\\-1&2&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}-3&2&-7\\\end{array}\right]$

Ahora consideremos la matriz en la que vamos a trabajar

$\left[\begin{array}{ccccc}2&-1&3&|&-3\\1&1&-1&|&2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]$

Ahora vamos a hacer operaciones de sumas, restas, o multiplicaciones por números...
Primero hacemos aparecer un "1" en la primera fila primera columna, entonces DIVIDIMOS A LA FILA 1 ENTRE 2

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\1&1&-1&|&2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]$
y hacemos de "pivote" a ese "1" que obtuvimos...hacemos $F_{2} - F_{1}$

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\1-1&1-(-1/2)&-1-3/2&|&2-(-3/2)\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\-1&2&2&|&-7\end{array}\right]$

Ahora hacemos $F_{3} + F_{1}$

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\-1+1&2-1/2&2+3/2&|&-7-3/2\end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0&3/2&-5/2&|&7/2\\0&3/2&7/2&|&-17/2\end{array}\right]$

Ahora podemos hacer: $F_{2} ( \frac{2}{3} )$ y también $F_{3} (\frac{2}{3} )$

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& \frac{3}{2}( \frac{2}{3} ) &- \frac{5}{2}( \frac{2}{3} ) &|& \frac{7}{2}( \frac{2}{3} ) \\0& \frac{3}{2}( \frac{2}{3} ) & \frac{7}{2}( \frac{2}{3} ) &|&- \frac{17}{2}( \frac{2}{3} ) \end{array}\right]=$

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 1&7/3 &|&- 17/3 \end{array}\right]$

Ahora hagamos $F_{3}- F_{2}$

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 1-1&7/3-(-5/3) &|&- 17/3-7/3 \end{array}\right]=... \\ \\ \\ ...=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&4 &|&-8 \end{array}\right]$

Ahora dividamos a la tercera fila entre 4 : $F_{3} ( \frac{1}{4} )= \frac{ F_{3} }{4}$

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&4/4 &|&-8/4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&1 &|&-2 \end{array}\right]$

Como nos dice que resolvamos por Gauss...es decir hemos hecho ceros bajo la diagonal...si hubiera sido Gauss-Jordan tuviéramos que hacer ceros también sobre la diagonal...

Entonces nos quedó ésto...

$\left[\begin{array}{ccccc}1&-1/2&3/2&|&-3/2\\0& 1 &-5/3&|&7/3 \\0& 0&1 &|&-2 \end{array}\right]$

Entonces ahora tenemos las siguientes ecuaciones..

$1x- \frac{1}{2} y+ \frac{3}{2}z =- \frac{3}{2} \\ 0x+1y- \frac{5}{3}z = \frac{7}{3} \\ 0x+0y+1z=-2$

Acomodando nos queda

$x- \frac{1}{2}y+ \frac{3}{2} z= -\frac{3}{2} \\ y- \frac{5}{3}z = \frac{7}{3} \\ z=-2$

Ahora si no te gustan esas fracciones podemos multiplicar a toda la primera ecuación por 2
$(x- \frac{1}{2}y+ \frac{3}{2} z= -\frac{3}{2})2 \\ 2x-y+3z=-3$

A la segunda ecuación vamos a multiplicarle por 3

$(y- \frac{5}{3}z = \frac{7}{3} )3 \\ 3y-5z=7$

Ahora tenemos el siguiente sistema 

$2x-y+3z=-3 \\ 3y-5z=7 \\ z=-2$
Ahora reemplacemos el valor de "z" en la segunda ecuación

$3y-5z=7 \\ 3y-5(-2)=7 \\ 3y=-3 \\ y=-1$

Ahora con éste nuevo valor y el anterior vamos a la primera ecuación

$2x-y+3z=-3 \\ 2x-(-1)+3(-2)=-3 \\ 2x+1-6=-3 \\ 2x=2 \\ x=1$

$Soluciones: \\ x=1 \\ y=-1 \\ z=-2$

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas