Matemáticas, pregunta formulada por AspR178, hace 1 año

Hola, qusiera que me ayudarán con esos 3 problemas (por lo que entiendo se puede resolver por derivadas), además pues el resultado tendría que arrojar lo mismo que me daría a mí (si no es así, pues estoy mal XD)​

Adjuntos:

Mainh: Por curioidad lo resolviste completando cuadrados?
Mainh: curiosidad*
AspR178: Emm si, perdona, qué pena, te dije que te ayudaría, pero ya no hice :(
Mainh: No te preocupes por eso, era una pregunta que publiqué porque estaba aburrido xD
AspR178: Oh vale, bueno, me acaban de avisar que eran las 3, y sólo he hecho 1, el último de los árboles
AspR178: No sé si podrías ayidarme sólo con los otros 2
AspR178: Esque quería en principio los 3 para sólo tenerlo de apunte, pero te digo, me aviaaron que era parte del trabajo final XD
Mainh: Vale, lo resolvere por dos métodos una es aplicando derivadas y el otro es completando cuadrados
AspR178: Wow, en serio es lo wue me esperaba, cómo dije estaba sorprendido de que se pudiera con derivadas :O

Respuestas a la pregunta

Contestado por Mainh
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¡Buenas!

Tema: Optimización

\textbf{Problema 1 :}

Una familia de artesanos se dedica a producir y vender cinturones de cuero a un precio de 75 dolares, si x cinturones son producidos diariamente, entonces el costo total de producción es C_{(x)} = x^{2}+25x+96 , ¿Cuántos cinturones deben producirse para que la familia obtenga la máxima ganancia?

RESOLUCIÓN

Debemos primero saber como calcular la ganancia en función de la cantidad de cinturones producidos, si nos ponemos a pensar, la ganancia es el resultado del precio de venta menos el costo de producción, entonces, como el costo de producir x cinturones en un día es C_{(x)} = x^{2}+25x+96 y el precio de venta de estos cinturones en un día es P_{(x)} = 75x, considerando que todos los cinturones producidos se venden, la ganancia viene a ser U_{(x)} = P_{(x)} - Q_{(x)}, donde U viene a ser la función utilidad, la cual nos representa la ganancia en función de los cinturones producidos.

U_{(x)} = P_{(x)} - Q_{(x)}

U_{(x)} = 75x - (x^{2}+25x+96)

U_{(x)} = 75x - x^{2} - 25x - 96

U_{(x)} = -x^{2} + 50x - 96

Una vez llegado a determinar la regla de correspondencia de la función U, podemos saber si esta función posee un máximo o un mínimo.

Método I

Con este método resolveré el problema sin el uso aplicativo de las derivadas.

Extraemos el factor -1 de la función.

U_{(x)} = -x^{2} + 50x - 96 \\ \\ U_{(x)} = -(x^{2} - 50x + 96)

Completamos cuadrados

U_{(x)} = -(x^{2} - 2(x)(25) + 96 + \boldsymbol{25^{2} -25^{2}})

U_{(x)} = -(x^{2} - 2(x)(25) + \boldsymbol{25^{2}} + 96 \boldsymbol{-25^{2}})

Notemos el trinomio cuadrado perfecto

U_{(x)} = -( (x-25)^{2} -529)

U_{(x)} = -(x-25)^{2} + 529

Ahora viene la parte importante, sabemos que todo número real elevado al cuadrado necesariamente tiene que ser mayor o igual a cero, entonces deducimos que (x-25)^{2} de ser necesariamente mayor o igual a cero.

(x-25)^{2} \geq 0

multiplicamos por menos a la desigualdad, lo cual implica que el sentido de desigualdad cambie.

-(x-25)^{2} \leq 0

sumamos a ambas partes de la igualdad 529.

-(x-25)^{2} +529 \leq 0 + 529

-(x-25)^{2} +529 \leq 529

Con lo cual llegamos a la siguiente conclusión.

U_{(x)} \leq 529

De aquí obtenemos que la función utilidad es menor o igual a 529, entonces el máximo valor posible de la función utilidad, será cuando sea igual a 529. Ahora solo nos queda hallar la cantidad de cinturones que deben producirse, para eso igualamos la función utilidad a 529.

U_{(x)} = 529

-(x-25)^{2} +529 = 529\ \to\ x=25

Como x nos representa la cantidad de cinturones producidos entonces para que la ganancia sea máxima x = 25.

RESPUESTA

\boxed{\textrm{La cantidad de cinturones que deben producirse es 25}}

Método II

Este método es mucho más fulminante, se trata de la aplicación de la derivada para su resolución, debido a que el coeficiente de la función polinomial es negativo y además la función polinomial es de segundo grado, entonces únicamente tiene un máximo.

Para determinar un máximo o un mínimo (en este caso máximo), debemos derivar dicha función e igualar a cero.

Nota

f^{1}_{(x)} significa primera derivada de f respecto de x

Derivemos entonces.

U_{(x)} = -x^{2} + 50x - 96

U^{1}_{(x)} = -2x + 50 = 0

x = 25

Como x nos representa la cantidad de cinturones producidos entonces para que la ganancia sea máxima x = 25.

RESPUESTA

\boxed{\textrm{La cantidad de cinturones que deben producirse es 25}}

\textbf{Problema 2 :}

En la actualidad las empresas han modificado sus campañas de publicidad y han tenido que incursionar en las redes sociales, una agencia encuentra, si la efectividad se mide en una escala de 1 a 10 entonces, f_{(x)} = \dfrac{2}{3} x - \dfrac{1}{90} x^{2} en donde x es el número de veces que una persona ve determinada publicidad y f_{(x)} es la regla de correspondencia de la función que nos representa esta efectividad, ¿Cuántas veces tiene que ver un posible cliente la publicidad para que esta tenga su máxima efectividad?

RESOLUCIÓN

Apliquemos directamente la derivada.

f_{(x)} = \dfrac{2}{3} x - \dfrac{1}{90} x^{2}

f^{1}_{(x)} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{90} x = 0

x = 30

Como x nos representa la cantidad de veces que una persona ve la publicidad entonces para que la efectividad sea máxima x = 30.

RESPUESTA

\boxed{\textrm{La cantidad de veces que una persona ve la publicidad es 30}}


AspR178: Muchísimas gracias Mainh :D
Mainh: ¡Un gusto ayudar!
AspR178: En serio que con las derivadas me ahorrare mucho tiempo :3
Mainh: FULMINANTE
AspR178: Jejeje si :3
AspR178: <3
AspR178: Lo raro es que en la 2, creí que hiba a diferir en algo, ya que encontré el problema original, y la escala era de 0 a 10, en este era de 1 a 10
Mainh: En caso sea de 0 a 10 eso nos indica que el rango varia de 0 a 10, es decir el valor de f(x) varia de 0 a 10 e igual no hay problema ya que nos piden el máximo valor de f(x), el cual es 10 y es cuando x es igual a 30
Mainh: ahora que lo pienso si queremos efectividad máxima y la efectividad máxima se alcanza cuando esta es 10, entonces sólo sería resolver la ecuación f(x) = 10
AspR178: Pasu, qué bien, respuesta verificada :D
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