Question

Hola, qusiera que me ayudarán con esos 3 problemas (por lo que entiendo se puede resolver por derivadas), además pues el resultado tendría que arrojar lo mismo que me daría a mí (si no es así, pues estoy mal XD)​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Optimización

$\textbf{Problema 1 :}$

Una familia de artesanos se dedica a producir y vender cinturones de cuero a un precio de $75$ dolares, si $x$ cinturones son producidos diariamente, entonces el costo total de producción es $C_{(x)} = x^{2}+25x+96$ , ¿Cuántos cinturones deben producirse para que la familia obtenga la máxima ganancia?

RESOLUCIÓN

Debemos primero saber como calcular la ganancia en función de la cantidad de cinturones producidos, si nos ponemos a pensar, la ganancia es el resultado del precio de venta menos el costo de producción, entonces, como el costo de producir $x$ cinturones en un día es $C_{(x)} = x^{2}+25x+96$ y el precio de venta de estos cinturones en un día es $P_{(x)} = 75x$, considerando que todos los cinturones producidos se venden, la ganancia viene a ser $U_{(x)} = P_{(x)} - Q_{(x)}$, donde $U$ viene a ser la función utilidad, la cual nos representa la ganancia en función de los cinturones producidos.

$U_{(x)} = P_{(x)} - Q_{(x)}$

$U_{(x)} = 75x - (x^{2}+25x+96)$

$U_{(x)} = 75x - x^{2} - 25x - 96$

$U_{(x)} = -x^{2} + 50x - 96$

Una vez llegado a determinar la regla de correspondencia de la función $U$, podemos saber si esta función posee un máximo o un mínimo.

Método I

Con este método resolveré el problema sin el uso aplicativo de las derivadas.

Extraemos el factor $-1$ de la función.

$U_{(x)} = -x^{2} + 50x - 96 \\ \\ U_{(x)} = -(x^{2} - 50x + 96)$

Completamos cuadrados

$U_{(x)} = -(x^{2} - 2(x)(25) + 96 + \boldsymbol{25^{2} -25^{2}})$

$U_{(x)} = -(x^{2} - 2(x)(25) + \boldsymbol{25^{2}} + 96 \boldsymbol{-25^{2}})$

Notemos el trinomio cuadrado perfecto

$U_{(x)} = -( (x-25)^{2} -529)$

$U_{(x)} = -(x-25)^{2} + 529$

Ahora viene la parte importante, sabemos que todo número real elevado al cuadrado necesariamente tiene que ser mayor o igual a cero, entonces deducimos que $(x-25)^{2}$ de ser necesariamente mayor o igual a cero.

$(x-25)^{2} \geq 0$

multiplicamos por menos a la desigualdad, lo cual implica que el sentido de desigualdad cambie.

$-(x-25)^{2} \leq 0$

sumamos a ambas partes de la igualdad $529$.

$-(x-25)^{2} +529 \leq 0 + 529$

$-(x-25)^{2} +529 \leq 529$

Con lo cual llegamos a la siguiente conclusión.

$U_{(x)} \leq 529$

De aquí obtenemos que la función utilidad es menor o igual a $529$, entonces el máximo valor posible de la función utilidad, será cuando sea igual a $529$. Ahora solo nos queda hallar la cantidad de cinturones que deben producirse, para eso igualamos la función utilidad a $529$.

$U_{(x)} = 529$

$-(x-25)^{2} +529 = 529\ \to\ x=25$

Como $x$ nos representa la cantidad de cinturones producidos entonces para que la ganancia sea máxima $x = 25$.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La cantidad de cinturones que deben producirse es 25}}$

Método II

Este método es mucho más fulminante, se trata de la aplicación de la derivada para su resolución, debido a que el coeficiente de la función polinomial es negativo y además la función polinomial es de segundo grado, entonces únicamente tiene un máximo.

Para determinar un máximo o un mínimo (en este caso máximo), debemos derivar dicha función e igualar a cero.

Nota

$f^{1}_{(x)}$ significa primera derivada de $f$ respecto de $x$

Derivemos entonces.

$U_{(x)} = -x^{2} + 50x - 96$

$U^{1}_{(x)} = -2x + 50 = 0$

$x = 25$

Como $x$ nos representa la cantidad de cinturones producidos entonces para que la ganancia sea máxima $x = 25$.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La cantidad de cinturones que deben producirse es 25}}$

$\textbf{Problema 2 :}$

En la actualidad las empresas han modificado sus campañas de publicidad y han tenido que incursionar en las redes sociales, una agencia encuentra, si la efectividad se mide en una escala de $1$ a $10$ entonces, $f_{(x)} = \dfrac{2}{3} x - \dfrac{1}{90} x^{2}$ en donde $x$ es el número de veces que una persona ve determinada publicidad y $f_{(x)}$ es la regla de correspondencia de la función que nos representa esta efectividad, ¿Cuántas veces tiene que ver un posible cliente la publicidad para que esta tenga su máxima efectividad?

RESOLUCIÓN

Apliquemos directamente la derivada.

$f_{(x)} = \dfrac{2}{3} x - \dfrac{1}{90} x^{2}$

$f^{1}_{(x)} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{90} x = 0$

$x = 30$

Como $x$ nos representa la cantidad de veces que una persona ve la publicidad entonces para que la efectividad sea máxima $x = 30$.

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La cantidad de veces que una persona ve la publicidad es 30}}$