Question

hola Quién Me apuede ayudar. a resolver esta. prueba de lecciones 1 y 2 de la unidad 4. funciones. reales. primer año de bachillerato ​

Answer 1

f(x) = $X^{2} + 6X + 10$

Es un polinomio cuadrático, primero hallaremos el Dominio (los valores que toma ´´x´´)

f(x) = $X^{2} + 6X + 10$ ----->   $X^{2} + 6X + 10$ = 0

Como no se puede  resolver por aspa simple, recurro a las discriminante del polinomio cuadrático :

En todo polinomio cuadrático de la forma : $a^{2} + bx + c$ su discriminantes se halla de la forma :

Δ= $b^{2} - 4ac$

3 casos de la discriminante puede ocurrir :

Δ > 0   (discriminante positiva) :  Sus 2 raíces son numero reales diferentes .

Δ = 0  (discriminante igual a cero) :  Sus 2 raíces son iguales.

Δ < 0   (discriminante negativa) :  Sus 2 raíces no son números reales.

Pertenecen al campo de los número imaginarios.

RESOLVIENDO EL PROBLEMA :

$X^{2} + 6X + 10$ = 0   ------>  Δ = $(6)^{2} - 4(1)(10)$  = 36 - 40 = -4

Por lo visto sus 2 raíces son imaginarias.

Busquemos las 2 raíces con la fórmula general :

Raíz 1 : $\frac{-b + \sqrt{Discriminante} }{2a}$      Raíz 2 :  $\frac{-b - \sqrt{Discriminante} }{2a}$

Resolviendo :

$\frac{-(6) + \sqrt{-4} }{2(1)}$        y             $\frac{-(6) - \sqrt{-4} }{2(1)}$

Raíz 1 : $\frac{-6 + \sqrt{-4} }{2}$                   Raíz 2 : $\frac{-6 - \sqrt{-4} }{2}$  

Una vez obtenidas las raíces podemos obtener el vértice de la parábola :

Sabemos que el vértice es un par ordenado : ($X_{v} ; Y_{v}$)

Para hallar el $X_{v}$ : solo suma las dos raíces y lo divides entre 2.

$X_{v} = \frac{\frac{-6 + \sqrt{-4} }{2} + \frac{-6 - \sqrt{-4} }{2} }{2}$  = $\frac{-6}{2}$  = -3

$Y_{v} = f(X_{v} )$  ---> (Esto quiere decir que reemplacemos el valor de -3 en ´´$Y_{v}$´´)

$X^{2} + 6X + 10$  ---->   $(-3)^{2} + 6(-3) + 10 = 9 - 18 + 10$ = 1

Las coordenada del vértice de la parábola son : (-3 : 1)

El Dominio de toda parábola siempre son todos los números reales ,ya que el x puede tomar el valor que desee , sim embargo a veces dan restricciones algunos problemas, como que el x sea menor que 10 , o mayor que 7, en ese caso el dominio se verá reducido.

El Rango : El rango depende de los valores que toma ´´x´´, el rango es ´´y´´

$X^{2} + 6X + 10$ = f(x) ------->      $X^{2} + 6X + 10$ = y

En este problema el Rango es :  <1 ; ∞>  

Por que es ese valor?

recuerdas que en una parte del problema pusimos $Y_{v} = f(X_{v} )$ ?

Para hallar el rango de una parábola, necesitas saber hacia donde se abre , y eso depende del signo del termino principal que es $X^{2}$ , su signo es positivo, pro lo cual la parábola se abre hacia arriba, ahora eso no es lo único que necesitas tener, lo ultimo que necesitas son las coordenadas del vértice, siendo más especifico, solo la coordenada ´´Y´´ del vértice, ya que ese es el punto máximo (si la parábola mira hacia abajo) o el punto mínimo (si la parábola mira hacia arriba).

Como el ´´y´´ del vértice es el máximo o el mínimo , obviamente a partir de ese valor comenzará el rango (si la parábola mira hacia arriba)

y se irá al infinito  .

Si la parábola mira hacia abajo ira del ´´y´´ del vértice hasta el infinito negativo.

Como sabemos que el ´´y´´ del vértice es 1, y además que la parábola se abre hacia arriba, entonces el rango es : [1 ; ∞>

Dominio : R

Rango  : [1 ; ∞ >

Ahora bien, el grafico se desarrolla dándoles valores cualquiera a ´´X´´

y apuntando el resultado de ´´y´´, ya que esos dos resultados dan un par ordenado de un punto de la parábola que servirá para el grafico.

Ejemplo :

x= 0  

$X^{2} + 6X + 10$ = y      -----> 10 = y  -----> (0;10)

x= 1

$X^{2} + 6X + 10$  = y    ----->   Y = 17  ------>  (1;17)

Y esos puntos lo graficas en el plano cartesiano y te dará el grafico (obviamente necesitaras más puntos , solo 2 no sirven de mucho en esta situación).