Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma: dy/dx=f(x,y), o M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente y/x, o de la forma dy/dx=f(u), donde u=y/x , por lo tanto dy/dx=f(y/x). Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea:〖y^3+x〗^3 dy/dx=xy^2 dy/dx, corresponde a:
A)y=ce^□(y^2/(2x^2 ))
B)e^(x/y)=cx
C)y=lnx+e^(y^2/2)+c
D)y=e^(y^2/x^2 )+c
Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
Tenemos una ecuación diferencial homogénea tal que:
(y³+x)³ dy/dx=xy² → No es homogénea
Así como esta escrita la ecuación no es para nada homogénea, por tanto presumo que realmente tiene la siguiente forma:
(y³+x³) dy/dx = xy²
Recordemos que en la ecuaciones homogéneas todas las potencias deben ser iguales, verifiquemos:
y³ → potencia 3
x³ → potencia 3
xy² → se suman las potencias 1+2 = 3, potencia 3
Para resolver este tipo de ecuaciones haremos un cambio de variables.
y = ux → dy = xdu + udx
Reescribimos y sustituimos el cambio en nuestra ecuación, tenemos:
(y³ + x³) dy - (xy²) dx = 0
(u³x³ + x³)(xdu + udx) - (x(ux)²) dx = 0
u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du + x³u dx - ux³ dx = 0
Simplificamos y tenemos:
u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du = 0
Multiplicamos por el factor (1/x⁴u⁴) ya que es una ecuación separable.
1/u · du + 1/x dx + 1/u⁴ du = 0
Ya que esta separada procedemos a integrar:
∫1/u · du + ∫1/x dx + ∫1/u⁴ du = 0
Ln|u| + ln|x| - u⁻³/3 +C = 0
Debemos devolver el cambio sabiendo que u = y/x
Ln|y/x| + ln|x| - (y/x)⁻³/3 +C = 0
ln|y| - x³/3y³ + C = 0
y = e^(x³/3y³) + C → Solución general
NOTA: Verificar si el enunciado no tiene ningún error, de todas manera el proceso es el mismo.