Question

Halle los valores minimo y maximo globales de la funcion

f(x) = x^3-3x + 3


En el segmento -3/2 <=x<= 5/2

Answer 1

Solución: en el segmento [-1.5, 2.5] para la función $f(x)=x^{3} -3x+3$ tenemos que x = -1 es un máximo global, x=1 es un mínimo global.

Explicación:

Puntos críticos: es donde la derivada de la función se anula, son los primeros candidatos máximos y mínimos locales y globales..

Criterio de la segunda derivada: si un punto critico se evalúa en la segunda derivada de la función y el resultado es positivo, entonces tenemos un mínimo local, si es negativo un máximo loca, si es cero no se puede deducir nada.

Una función es máximo y mínimo global en un segmento, si son los únicos máximos y mínimos en dicho segmento .

Tenemos: $f(x)=x^{3} -3x+3$

Derivamos e igualamos a cero:

$f'(x)=3x^{2} -3 = 0$

⇔  $3x^{2}= 3$

⇔  $x^{2}= 1$

⇒ x = 1 o x= -1

Es decir que los candidatos a mínimos y máximos son: 1 y -1.

Calculamos la segunda derivada:

$f''(x)=6x$

Usando el criterio de la segunda derivada:

$f''(-1)=6(-1) = -6$ es un máximo local

$f''(1)=6(1) = 6$ es un mínimo local

Como son los únicos máximos y mínimos entonces son máximos y mínimos globales.

El segmento solicitado es el intervalo [-3/2, 5/2] = [-1.5, 2.5] y tanto -1 como 1, están en el segmento.

Por lo tanto en el segmento [-1.5, 2.5] para la función $f(x)=x^{3} -3x+3$ tenemos que x = -1 es un máximo global, x=1 es un mínimo global.