Question

Hallar la ecuación general y todos sus elementos de la elipse cuyos focos son los puntos (3, 0) y (−3, 0), y la longitud del lado recto es igual a 9.

Answer 1

Primero encontremos el centro de la elipse. Observa que ya tenemos los focos. El centro es el punto medio entre los focos. Así que aplicando la fórmula de punto medio:

$PM=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} )\\\\\therefore C=(\frac{3-3}{2},\frac{0+0}{2} )=(0,0)$

El centro tiene coordenadas (0,0). Como los focos tienen el misma coordenada en "y", es decir y=0 (una línea horizontal) la elipse debe ser horizontal también.

La distancia del centro a cualquiera de los focos se le conoce como c:

$c=|3-0|=3$

La longitud del lado recto es de 9, y también en las elipses equivale a la siguiente expresión:

$LR=9\\\\LR=\frac{2b^2}{a} \\\\\therefore 9=\frac{2b^2}{a}$

Ahora, usamos la relación entre a,b y c en las elipses:

$a^2=b^2+c^2\\\\b^2=a^2-c^2$

Sustituimos los valores de b y c obtenidos anteriormente:

$9=\frac{2(a^2-3^2)}{a}$

Y despejamos a:

$\frac{9}{2}a=a^2-9\\\\a^2-\frac{9}{2}a-9=0\\\\a_{1,2}=\frac{-(-9/2)\pm \sqrt{(-9/2)^2-4(1)(-9)} }{2(1)} \\\\a_{1,2}=\frac{(9/2)\pm \sqrt{(81/4)+36} }{2} \\\\a_{1,2}=\frac{(9/2)\pm \sqrt{(225/4)} }{2} \\\\a_{1,2}=\frac{(9/2)\pm (15/2) }{2} \\\\a_1=6\\\\a_2=-\frac{3}{2}$

Obtuvimos 2 valores de a, pero como a es una distancia, debemos tomar solo el valor positivo, es decir a=6. Volviendo a usar la relación entre a,b y c, obtenemos el valor de b:

$a^2=b^2+c^2\\\\b^2=6^2-3^2\\\\b^2=27$

Teniendo a, b y las coordenadas del centro (0,0) sustituimos en la ecuación ordinaria de la elipse horizontal:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+ \frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \\\\\frac{(x-0)^2}{36}+ \frac{(y-0)^2}{27}=1$

Pasando ahora a la forma general:

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 \\\\\frac{27x^2+36y^2}{972}=1\\\\27x^2+36y^2=972\\\\27x^2+36y^2-972=0\\\\3x^2+4y^2-108=0$

Respuesta: $3x^2+4y^2-108=0$