Question

Hallar la Ecuación de la recta si pasa por el punto P (a , b) y el otro punto de paso está dado por la intersección de las rectas

 

R1 = $<var>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1</var>$

 

R2 = $<var>\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1</var>$

 

 

Bueno, Son 100 puntos para la solución. Les doy las gracias por adelantado a los que lo resuelvan.

 

Nota: (las respuestas estarán en seguimiento de cumplimiento de reglas)

Answer 1

Hallar la Ecuación de la recta si pasa por el punto P (a , b) y el otro punto de paso está dado por la intersección de las rectas

 

R1 = 

 

R2 = 

 

 

x........y.....

---- + ------= 1

a..........b

 

bx + ay

-------------= 1

...ab

 

bx + ay = 1 . ab

ay = ab - bx

y = -bx /a + ab/a

y = -bx/a + b  → R1

 

x........y.....

---- + ------= 1

b..........a

 

ax + by

------------ = 1

...ba

 

ax + by = ba

by = ba - ax

y = -ax/b + ba/b

y = -ax/b + a  → R2

 

interseccion de las rectas R1 y R2

y = -bx/a + b  → R1....... y = -ax/b + a  → R2

 

..........................y =y

........... -bx/a + b =-ax/b + a 

...........-bx/a +ax/b = a -b

...........x (-b/a + a/b) = a - b

...........x ((-b² + a²)/ab) = a - b

 

...................a - b

x = --------------------------

..........(-b² + a²)/ab

 

...........(a - b) ab

x = --------------------------

..........(-b² + a²)

 

...........(a - b) ab

x = --------------------------

..........(a -b)(a+b)

 

 

.......... ab

x = ----------------

..........(a + b)

 

 

y = -bx/a + b  → R1

 

........-bx

y =---------- + b

...........a

 

........-b(ab)

y =----------------------- + b

...........a (a+b)

 

........-b²a

y =----------------------- + b

...........a² + ab

 

........-b²a  + b(a² + ab)

y =-----------------------------

...........a² + ab

 

........-b²a  + ba² + ab²

y =-----------------------------

...........a² + ab

 

........... ba²

y =------------------

...........a (a+b)

 

........... ba

y =------------------

...........(a+b)

 

 

Punto 2 (x ; y )

punto 2 ( ab/(a + b) ;  ba/(a+b))

 

Ecuacion de la recta

Punto 1 (a, b)

Punto 2 (( ab/(a + b) ;  ba/(a+b))

 

pendiente = y2 - y1 / x2 - x1

 

.........................ba/(a+b) - b

pendiente = ---------------------

........................... ab/(a + b) - a

 

.........................(ba - b(a+b))/(a+b)

pendiente = -------------------------------

........................... (ab - a(a+b)/(a + b)

 

.........................(ba - ba - b²)

pendiente = -------------------------------

........................... (ab - a² - ab)

 

.................................. - b²

pendiente = --------------------

...................................  - a²

 

pendiente = b² /a²

 

ordenada al origen

y = pendiente x + ordenada

b - ((b²/a²) . a) = ordenada

b  - b² /a = ordenada

(ab - b²)/a = ordenada

 

la Ecuacion de la recta que pasa por el punto 1 y el punto 2

es

y = (b²/a²)x  + (ab - b²)a

 

 

espero que te sirva, salu2!!!!

Answer 2

Ok, primero busquemos una expresión para la pareja ordenada intersección de las dos rectas para encontrar otro punto por le que pase la recta en cuestión:

 

solucionemos entonces el sistema: (utilizaremos el método de reducción o resta)

Primero quitemos los fraccionarios en la primera multiplicando por el MCM que es ab:

bx + ay = ab

 

lo mismo con la segunda ecuacion:

ax + by = ab

 

multipliquemos la primera ecuación por a y la seungda por b:

 

abx + a^2 y = a^2b

abx + b^2y = ab^2

 

ahora restemos las anteriores ecuaciones para eliminar la incógnita x y otener uns ecuación para la incógnita y:

 

abx + a^2 y = a^2b

- abx - b^2y = -ab^2

--------------------------------

(a^2 - b^2)y= ab(a - b)

 

factoricemos la difeencia de cuadrados del lado izquierdo:

(a+b)(a-b)y=ab(a-b)

 

asumamos que  a es diferente de b entonces podemos simplificar dividiendo por (a-b):

(a+b)y=ab

despejemos y:

y=ab/(a+b)

 

sustituyamos esta y en la ecuación bx + ay = ab

 

bx + a(ab/(a+b)) = ab

bx = ab - a^2b/(a+b)

x= a - a^2/(a+b) =  [a(a+b) - a^2]/(a+b) = (a^2 + ab - a^2)/(a+b) = ab/(a+b)

 

bien encontramos que "x" y "y"son iguales y la pareja ordenada de interseccion es (ab/(a+b), ab/(a+b))

 

ahora, usemos la formula de la pendiente con los dos puntos que ahora tenemos por donde pasa la recta:

 

m=(y1-y0)/(x1-x0)  

donde

(x1,y1)-->(ab/(a+b) , ab/(a+b))  

(x0,y0) -->(a,b)

entonces: 

 

m=(ab/(a+b) - b)/(ab/(a+b) -a)

 

         (ab-b(a+b))/(a+b)

m= -----------------------------------

          (ab - a(a+b))/(a+b)

 

se simplifica el termino comun (a+b) :

 

         ab -ab -b^2               b^2

m= --------------------------   = ---------

          ab - a^2 - ab             a^2

 

bien ahora usemos la ecuacion de pendiente-punto para deducir la ecuación pendiente- intercepto:

 

y -y1 = m(x-x1)

 

y - b = (b^2/a^2)(x - a)

 

         b^2       b^2

y-b = ------x  - -----

         a^2         a

 

 

          b^2      b^2

y    = ------x  - -----   + b

         a^2         a

 

          b^2      b^2-ab

y    = ------x  - ----------

         a^2          a

 

o bien factorizando el numerador del segundo término:

   

          b^2      b(b-a)

y    = ------ x  - ----------

          a^2          a

 

o si se prefiere cambiando el signo del intercepto:

 

          b^2       b(a-b)

y    = ------ x + ----------

          a^2          a

 

esta es la ecuación de la recta pedida en su forma pendiente intercepto o forma estandar.

 

en su forma general  (Ax +By + C = 0) sería:

 

multiplicando todo por el MCM que es a^2:

 

a^2 y = b^2 x + ab(a-b)

 

pasando todo a un lado:

 

b^2 x  - a^2 y + ab(a-b) = 0