Question

hallar la ecuacion, centro y radio de la circunferencia que pasa po A(1,3),B(4,6) y cuyo centro esta sobre la recta r 3x+7y +2 =0

Answer 1

Podemos buscar al centro de la circunferencia de la siguiente forma:

Supongamos que el radio de dicha circunferencia es $r$, por lo tanto, trazamos dos circunferencias de radio $r$ cada una con centro en $A$ y $B$ respectivamente.
De esta forma, el centro de la circunferencia pedida se hallará en la intersección de estas dos circunferencias sobre la recta (recomiendo ver la imagen que adjunté al final), de modo que nos queda un sistema de tres ecuaciones en el que:

$\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+(y-3)^2=r^2\\ (x-4)^2+(y-6)^2=r^2\\ 3x+7y+2=0\end{matrix}\right.$

Utilizando la recta despejamos $y=f(x)$

$y=-\frac{3}{7}x-\frac{2}{7}$

Luego utilizamos esto para reemplazar en las otras dos funciones, nos queda:

$\left\{\begin{matrix}(x-1)^2+[(-\frac{3}{7}x-\frac{2}{7})-3]^2=r^2 \\ \\ (x-4)^2+[(-\frac{3}{7}x-\frac{2}{7})-6]^2=r^2\end{matrix}\right.$

Como ambas ecuaciones son iguales a $r^2$, entonces podemos igualarlas:

$(x-1)^2+(-\frac{3}{7}x-\frac{2}{7}-3)^2=(x-4)^2+(-\frac{3}{7}x-\frac{2}{7}-6)^2$

$(x^2-2x+1)+(-\frac{3}{7}x-\frac{23}{7})^2=(x^2-8x+16)+(-\frac{3}{7}-\frac{44}{7})^2$

$-2x+1+(\frac{9}{49}x^2+\frac{138}{49}x+\frac{529}{49})=-8x+16+(\frac{9}{49}x^2+\frac{264}{49}x+\frac{1936}{49})$

$6x-15+\frac{138}{49}x+\frac{529}{49}=\frac{264}{49}x+\frac{1936}{49}$

Multiplicamos por $49$ a ambos lados para cancelar los denominadores:

$49(6x-15)+138x+529=264x+1936$

$294x-735+138x+529=264x+1936$

Ponemos los términos con $x$ a izquierda, y los independientes a derecha:

$294x+138x-264x=1936+735-529$

$168x=2142$

$x=\frac{2142}{168}$

$x=\frac{51}{4}$

Este es el valor de $x$ del centro de la circunferencia, luego usamos la función de la recta para hallar el valor de $y$

$y=-\frac{3}{7}x-\frac{2}{7}$

$y=-\frac{3}{7}\times \frac{51}{4}-\frac{2}{7}$

$y=-\frac{153}{28}-\frac{2}{7}$

$y=-\frac{23}{4}$

De esta manera, el centro de la circunferencia pedida se encuentra en el punto:
 
$\left(\frac{51}{4}\:,\: -\frac{23}{4}\right)$

Luego su radio puede hallarse con cualquiera de las dos circunferencias auxiliares que planteamos:

$(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$

$r^2=(\frac{51}{4}-1)^2+(-\frac{23}{4}-3)^2$

$r^2=(\frac{47}{4})^2+(-\frac{35}{4})^2$

$r^2=\frac{2209}{16}+\frac{1225}{16}$

$r^2=\frac{3434}{16}$

$r=\frac{1}{4}\sqrt{3434}\cong 14,65$

Por último, la ecuación que define a esta circunferencia de centro $(\frac{51}{4}\:,\: -\frac{23}{4},)$ y radio $\frac{1}{4}\sqrt{3434}$ es:

$(x-\frac{51}{4})^2+(y+\frac{23}{4})^2=\frac{3434}{16}$

Con esto ya queda resuelto el problema.