Question

hallar el termino independiente del enesimo termino en : 5;11;19;29;...​

Answer 1

Nos pide el término independiente y ello ya hace pensar en que estamos ante una progresión cuadrática

La característica de este tipo de progresiones es que los valores de sus términos se obtienen fijándose en que la diferencia entre dos términos consecutivos no es una cantidad fija sino que va aumentando y formando otra sucesión de tal modo que lo que nos aparece es una sucesión dentro de otra sucesión.

Lo que viene llamándose  SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.

Términos

de la progresión:     1º              2º             3º            4º              etc...

Progresión inicial:     5              11              19            29             ... etc

Diferencia 1:                      +6              +8           +10      ⇒ (1º orden)

Diferencia 2:                            +2                +2             ⇒ (2º orden)

Se puede observar que la diferencia entre términos es creciente, o sea que:

• del 1º al 2º término la diferencia es 6,
• del 2º al 3º la diferencia es 8,
• del 3º al 4º la diferencia es 10 ... etc ...

Eso sería en la "diferencia 1 "

En el segundo orden  (diferencia 2 )  es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de dos unidades entre términos consecutivos,  

6+2 = 8 ..... 8+2 = 10  ... etc...

La expresión, término general o enésimo  aₙ  que nos permite saber el valor de cualquier término de esa sucesión conociendo el lugar que ocupa en ella ha de tener esta forma:  

$\bold{a_n=an^2+bn+c}$

Y el texto nos habla de hallar el término independiente, es decir, "c".

Para obtener el término enésimo aₙ de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes  "a, b, c"  y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba (remarcados en negrita).

Se hace esto:

• 1er. térm. de prog. inicial = 5 ...  lo llamo C
• Diferencia 1 = ------------- = +6 ...  lo llamo B
• Diferencia 2 = -------------= +2 ...  lo llamo A

Y se usa la siguiente fórmula:
$a_n=\dfrac{A}{2} * n^2+(B-\dfrac{3}{2}* A)* n+(A-B+C)$

Es una expresión que se debe memorizar cada vez que necesitemos saber el término general de cualquier progresión cuadrática aunque en este ejercicio en concreto no necesitamos calcular toda la expresión sino solo la correspondiente al término independiente que es el último paréntesis  (A - B + C).

Sustituyo los valores:

(A - B + C) = 2 - 6 + 5  = 1

El término independiente que nos pide es 1