Hallar el complemento de:
C.A (45 673)
doy coronaxd
Respuestas a la pregunta
ya que las ak
’s son un reordenamiento de 1,2,...,n. S es, por suposición, la suma de un número impar de enteros
impares, resultando en el entero par 0. Esto es imposible, así que nuestra suposición inicial es falsa y por lo tanto
al menos una de las diferencias ak −k es par, lo que por consiguiente, hace par al producto. ◭
5 Ejemplo Demuéstrese que √
2 es irracional.
◮Resolución: Presúmase que √
2 =
a
b
, con enteros positivos a,b. Esto conlleva a 2b
2 = a
2
. Ahora bien, tanto a2
como b2
tienen un número par de primos en su factorización (contando repeticiones). Luego 2b
2
tiene un número
impar de primos en su factorización y a2
tiene un número par de primos en su factorización. Esto contradice el
hecho de que todo entero positivo mayor que 1 puede descomponerse en factores primos de forma única. ◭
6 Ejemplo Demúestrese que 2003 no es la suma de dos cuadrados.
◮Resolución: Primero se demostrará que la suma de dos cuadrados nunca deja residuo 3 al ser dividida por
4. De esto se obtiene el resultado de inmediato. Cada entero es o bien par, (de la forma 2k) o non (de la forma
2k +1). Se tiene que
(2k)
2 = 4(k
2
),
(2k +1)
2 = 4(k
2 +k) +1.
Luego, el cuadrado de cada entero o bien deja residuo 0 o bien deja residuo 1 al ser dividido por 4. La suma de
dos enteros entonces dejará residuo 0, 1, o 2 al ser dividida por 4. ◭
7 Ejemplo Si a,b,c son enteros impares, demuéstrese que la ecuación ax2 +bx+c = 0 no posee una solución racional.
◮Resolución: Si la ecuación poseyere la solución racional p
q
, con p,q relativamente primos, entonces
a
Å
p
q
ã2
+b
Å
p
q
ã
+c = 0 =⇒ ap2 +bpq+cq2 = 0.
Si ambos p y p fuesen nones, entonces ap2+bpq+cq2
sería también non, y por lo tanto 6= 0. De manera semejante,
si uno entre p y q fuese impar y el otro par, luego o bien ap2 +bpq o bien bpq+cq2
sería par, y ap2 +bpq+cq2
impar, otra contradicción. Luego, tal raíz racional d f racpq es ficticia. ◭
Tarea
8 Problema En △ABC, A > B. Demuéstrese que BC > AC.
9 Problema Sea 0 < α < 1. Demuéstrese que √
α > α.
10 Problema Sea α = 0.999... en donde hay al menos 2000 nueves. Demuéstrese que
la expansión decimal de √
α también comienza con al menos 2000 nueves.
11 Problema Demostrar que no existen enteros a,b,c,d tales que
x
4 +2x
2 +2x+2 = (x
2 +ax+b)(x
2 +cx+d).
1.2 Principio de las pichoneras de Dirichlet
12 Ejemplo Las nueve casillas de un cuadrado 3×3 son llenadas aleatoriamente por −1’s, 0’s, o 1’s. Demuéstrese que entre
las ocho sumas resultantes (tres columnas, tres filas y dos diagonales), hay al menos dos de ellas idénticas.
◮Resolución: Hay siete sumas posibles, cada una un entero del conjunto {−3,−2,−1,0,1,2,3}. Por el principio
de las pichoneras, dos de las ocho sumas del cuadrado deberán de coincidir