Question

hallar el coeficiente de x^7 y^2 en polinomio desarrollado de (x+y)^5 (2x-y)^4

Answer 1

la expansión de este polinomio se puede hacer con  el principio de binomio de newton

sea el termino general

$t_{k+1}= \dbinom{n}{k}.x^{n-k}.a^{k}$

comencemos!

$P(x)=(x+y)^5 (2x-y)^4$

en el problema nos piden hallar aquel termino(s) que termina en $x^7 y^2$ ,la expansión de este polinomio te arroja muchos términos ,pero este polinomio tiene 2 factores primos cada factor tendrá muchos términos pero solo uno(s) , multiplicado por por uno(s) de los términos que arroja el otro factor te dará un(os) termino(s) que termina en $x^7 y^2$

hallemos el aquel termino del primer factor

$t_{k+1}=\dbinom{5}{k}.x^{5-k}.y^{k}$

hallemos el aquel termino del segundo factor

$t_{p+1}= \dbinom{4}{p}.(2x)^{4-p}.(-y)^{p}$

aquel termino(s) tendrá la siguiente forma

$t_{k+1}.t_{p+1}$

$t_{k+1}.t_{p+1}=\dbinom{5}{k}.x^{5-k}.y^{k}.\dbinom{4}{p}.(2x)^{4-p}.(-y)^{p}$ como n∈N+; k,p≤n ; k,n ∈N+ entonces se podrá tomar como combinatoria

$t_{k+1}.t_{p+1}=C^{5}_{k}.C^{4}_{p}.x^{5-k}.y^{k}.(2x)^{4-p}.(-y)^{p}$

$t_{k+1}.t_{p+1}=C^{5}_{k}.C^{4}_{p}.(2)^{4-p}(-1)^{p}.x^{9-p-k}.y^{k+p}$

pero k+p=2

        1+1

        2+0

        0+2

$t_{k+1}.t_{p+1}=C^{5}_{1}.C^{4}_{1}.(2)^{4-1}(-1)^{1}.x^{9-1-1}.y^{1+1}+\\\\C^{5}_{2}.C^{4}_{0}.(2)^{4-0}(-1)^{0}.x^{9-0-2}.y^{2+0}+\\\\C^{5}_{0}.C^{4}_{2}.(2)^{4-2}(-1)^{2}.x^{9-2-0}.y^{0+2}$  

entonces

$t_{k+1}.t_{p+1}= x^7 y^2(-160+160+24)=24 x^7 y^2$

$AUTOR: SmithValdez$