Question

hallar el area entre las curvas F( X)= X2
G( X )=X3

Answer 1

El área ente las curvas puede ser calculado con integrales. Sin embargo para tu problema hay que tener a que área se refiere dado que como vez en el gráfico adjunto para x en el intervalo de <0;1> la gráfica de x² esta por encima de x³ mientras que para el intervalo <1;∞> la gráfica de x³ está sobre la de x². El detalle de esto es que si no se tienen en cuenta esas consideraciones podemos obtener un valor negativo para el área. Por ello optaremos por tomar valor absoluto al resultado y procedemos de manera general sin tomar en cuenta el intervalo sobre el cual está x:

Sea la integral::

$\int {( x^{2}- x^{3} )} \, dx = \frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{4}}{4}= \frac{4x^{3}-3x^{2}}{12}$

Por ello si: 
$f(x)=\frac{4x^{3}-3x^{2}}{12}$

El área seria |f(x)-f(xo)| donde xo y x son los extremos del intervalo sobre el cual se quiere calcular el área

AÑADIDO POR COMENTARIO:

Para las funciones que mencionas:

$f(x)=- x^{2} +2 \\ g(x)=x^{3}$

Te adjunto la gráfica de las funciones, similar al caso anterior integraremos:

$\int {(- x^{2} +2-x^{3})} \, dx = \frac{-x^{3}}{3} +2x- \frac{x^{4}}{4}$

Si tenemos la función:

$h(x)=\frac{-x^{3}}{3} +2x- \frac{x^{4}}{4}$

El área seria |h(x)-h(xo)| donde xo y x son los extremos del intervalo sobre el cual se quiere calcular el área