Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100y cuyo producto sea máximo.
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SOLUCIÓN: {Los valores que maximizan la ecuación son x = 5√2 e y = 5√2}
Planteamos todo como como ecuación siendo x e y la representación en variables de dos números.
La suma de cuadrados se representa como: x² + y²
Entonces tenemos:
x² + y² = 100
Despejamos y: y² = 100 - x²
y = √(100 - x²) → En función de x
El producto en ambos debe ser máximo (Máximo x· y):
Función objetivo: x · y = [√(100 - x²)] · x
F (x) = x · [√(100 - x²)]
Derivamos para hallar el máximo (debemos aplicar Regla de la cadena)
![F'(x)= \sqrt{(100- x^{2} )} - \frac{ x^{2} }{\sqrt{(100- x^{2} )}} F'(x)= \sqrt{(100- x^{2} )} - \frac{ x^{2} }{\sqrt{(100- x^{2} )}}](https://tex.z-dn.net/?f=F%27%28x%29%3D++%5Csqrt%7B%28100-+x%5E%7B2%7D+%29%7D+-+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7B%5Csqrt%7B%28100-+x%5E%7B2%7D+%29%7D%7D+)
Evaluamos en F'(x) = 0:
![\sqrt{(100- x^{2} )} - \frac{ x^{2} }{\sqrt{(100- x^{2} )}} =0 \sqrt{(100- x^{2} )} - \frac{ x^{2} }{\sqrt{(100- x^{2} )}} =0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%28100-+x%5E%7B2%7D+%29%7D+-+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%7B%5Csqrt%7B%28100-+x%5E%7B2%7D+%29%7D%7D+%3D0)
![\frac{100- x^{2} - x^{2} }{ \sqrt{100- x^{2} } } =0 \frac{100- x^{2} - x^{2} }{ \sqrt{100- x^{2} } } =0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B100-+x%5E%7B2%7D+-+x%5E%7B2%7D+%7D%7B+%5Csqrt%7B100-+x%5E%7B2%7D+%7D+%7D+%3D0)
100 - 2x² = 0
2x² = 100
x² = 50
x = √50
x= 5√2
HALLAMOS Y:
y = √(100 - x²)
y = √(100 - (5√2)²)
y = 5√2
COMPROBAMOS:
(5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100
Planteamos todo como como ecuación siendo x e y la representación en variables de dos números.
La suma de cuadrados se representa como: x² + y²
Entonces tenemos:
x² + y² = 100
Despejamos y: y² = 100 - x²
y = √(100 - x²) → En función de x
El producto en ambos debe ser máximo (Máximo x· y):
Función objetivo: x · y = [√(100 - x²)] · x
F (x) = x · [√(100 - x²)]
Derivamos para hallar el máximo (debemos aplicar Regla de la cadena)
Evaluamos en F'(x) = 0:
100 - 2x² = 0
2x² = 100
x² = 50
x = √50
x= 5√2
HALLAMOS Y:
y = √(100 - x²)
y = √(100 - (5√2)²)
y = 5√2
COMPROBAMOS:
(5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100
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