Question

Halla el área de la región R, ubicada en el primer cuadrante y que está
limitada por las gráficas

Answer 1

El área de la región delimitada por las funciones es $\frac{68}{3}+4\sqrt{28}-\frac{(\sqrt{28})^3}{3}$

Explicación paso a paso

Comenzamos hallando las intersecciones entre la recta y las dos parábolas para hallar los límites de integración. La intersección con la primera parábola es:

$x+y=6=>y=6-x\\\\y=x^2\\\\6-x=x^2\\\\x^2+x-6=0\\\\x=\frac{-1\ñ\sqrt{1^2-4.1.(-6)}}{2.1}=\frac{-1\ñ5}{2}\\\\x=-3\\x=2$

Y con la segunda parábola es:

$y=6-x\\y=\frac{x^2}{4}\\\\6-x=\frac{x^2}{4}\\\\x^2=4(6-x)\\x^2=24-4x\\\\x^2+4x-24=0\\\\x=\frac{-4\ñ\sqrt{4^2-4.1(-24)}}{2.1}=-2\ñ\frac{\sqrt{112}}{2}=-2\ñ\sqrt{28}\\\\x=-2+\sqrt{28}>0$

Viendo la imagen adjunta, la integral:

$M=\int\limits^2_0 {x^2} \, dx+\int\limits^6_2 {6-x} \, dx$

Nos da el área de toda la región sombreada, por lo que para hallar el área verde, tenemos que restar a esa integral el área roja, queda:

$R=\int\limits^2_0 {x^2} \, dx+\int\limits^6_2 {6-x} \, dx-(\int\limits^{\sqrt{28}-2}_0 {\frac{x^2}{4}} \, dx+\int\limits^6_{\sqrt{28}-2} {6-x} \, dx)\\\\R=\int\limits^2_0 {x^2} \, dx+\int\limits^6_2 {6-x} \, dx-\int\limits^{\sqrt{28}-2}_0 {\frac{x^2}{4}} \, dx-\int\limits^6_{\sqrt{28}-2} {6-x} \, dx$

Resolviendo las integrales queda:

$R=[\frac{x^3}{3}]^{2}_0+[6x-\frac{x^2}{2}]^6_2-[\frac{x^3}{3}]^{\sqrt{28}-2}_0-[6x-\frac{x^2}{2}]^6_{\sqrt{28}-2} \, \\\\R=\frac{8}{3}+10-\frac{(\sqrt{28}-2)^3}{3}-(18-(6(\sqrt{28}-2)-\frac{(\sqrt{28}-2)^2}{2}))\\\\R=\frac{8}{3}+10-\frac{(\sqrt{28}-2)^3}{3}-18+6(\sqrt{28}-2)-\frac{(\sqrt{28}-2)^2}{2}\\\\R=\frac{8}{3}+10-\frac{(\sqrt{28})^3+3.(\sqrt{28})^2.(-2)+3.\sqrt{28}.(-2)^2+8}{3}-18+\\+6\sqrt{28}-12-\frac{28-4\sqrt{28}+4}{2}$

Aplicando propiedad distributiva queda:

$R=\frac{8}{3}+10-\frac{(\sqrt{28})^3}{3}+56-4\sqrt{28}-\frac{8}{3}-18+\\+6\sqrt{28}-12-14+2\sqrt{28}-2\\\\R=\frac{68}{3}+4\sqrt{28}-\frac{(\sqrt{28})^3}{3}$