Halla a y b si se sabe que son enteros y positivos en la siguiente ecuación: 126a + 198b = 2214. Luego indica la menor diferencia positiva entre a y b.
Respuestas a la pregunta
En esta ecuación diofántica, las combinaciones posibles para 'a' y 'b' son a=5,b=8 y a=16,b=1. La menor diferencia positiva entre 'a' y 'b' por lo tanto, es 3.
¿Cómo hallar las soluciones de la ecuación diofántica?
Si en la ecuación planteada los valores de 'a' y 'b' tienen que ser enteros positivos, entonces, la ecuación planteada es una ecuación diofántica. Para simplificar los cálculos, encontramos que los tres coeficientes son múltiplos de 18, por lo que si dividimos por 18 la ecuación, tenemos:
7a+11b=123.
Podemos empezar asumiendo b=1, el mínimo valor que puede tener la variable 'b', entonces queda:
7a+11.1=123
7a=123-11
7a=112
a=16.
Ahí tenemos una de las soluciones posibles de la ecuación diofántica, (16,1). Para hallar otra solución tenemos que obtener un valor de 'a', tal que la diferencia entre 123 y 7a sea un múltiplo de 11. Podemos restarle a 123 múltiplos de 11 hasta obtener otro múltiplo de 7:
- 123-11=112, es múltiplo de 7;
- 123-22=101, no es múltiplo de 7;
- 123-33=90, no es múltiplo de 7;
- 123-44=79, no es múltiplo de 7;
- 123-55=68, no es múltiplo de 7;
- 123-66=57, no es múltiplo de 7;
- 123-77=46, no es múltiplo de 7;
- 123-88=35, es múltiplo de 7.
Si el valor de 7a es 35, entonces tenemos a=5, como 11b es 123-35=88, tenemos b=8, ahí tenemos otra solución de la ecuación que es (5,8).
Si seguimos restando múltiplos de 11, vamos a tener para 7a los valores 24, 13 y 2, los cuales ninguno es múltiplo de 7, por lo que las soluciones posibles son (16,1) y (5,8).
Ahora, la menor diferencia positiva entre los valores de 'a' y 'b' es 8-5=3.
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