Formamos un octaedro uniendo entre sí consecutivamente los puntos medios de las caras de un cubo, de la manera que se indica en la figura ¿que francion del volumen del cubo queda ocupado por el octaedro?
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RESPUESTA:
Dada la imagen podemos observar como el octaedro esta dentro del cubo.
Ahora asumiremos que tenemos un cubo unitario, en donde todas sus aristas miden 1 u, entonces procedemos a calcular el volumen del cubo.
Vc = a³
Ahora procedemos a calcular el volumen del octaedro, para saber su arista debemos aplicar Pitágora.
b² = (a/2) ² + (a/2)²
b² = a²/4 + a²/4
b² = a²/2
b = a/√2
Por tanto el volumen será
Vo = √3/2 · b³
Vo = √3/2·(a/√2)³
Vo = √6/8 · a³
Por tanto sacamos la fracción como una relación entre volúmenes.
F = (√6/8 · a³) / a³
F = 0.3061
Por tanto, el volumen del octaedro ocupa el 30.61 % del volumen del cubo.
Adjuntos:
gisell2403:
El ejercicio está bien plateado. Pero la ecuación del volúmen del octaedro no es correcta. La ecuación es: Vo=(1/3)*(raiz cuadrado de 2)*(valor de la artista elevado al cubo)
Quedaría: Vo=(1/3)*(√2)*(a/√2)^3. Resolviendo esto quedaría al final así: Vo=a^3/6. Siendo el octaedro 1/6 del cubo.
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