Question

factoriza 32+x5-8x2-4x3 por suma y diferencia de cubos
el 5,2,3 son exponentes

Answer 1

La factorización de 32+x^5-8x^2-4x^3 es (x+2)(x-2)²(x²+2x+4)

Para poder factorizar el polinomio, debemos recordar tres métodos fundamentales para poder resolver este tipo de problemas

• Factorización por factor común: Notamos lo siguiente, de la propiedad distributiva de los números reales: $ab + ac = a(b+c)$
• Factorización por diferencia de cuadrados: Este método consiste en la siguiente verdad: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Se puede comprobar a mano que esto es cierto.
• Factorización por diferencia de cubos: Por último, necesitamos la siguiente factorización: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab + b^2)$

Sabiendo esto, podemos verdaderamente proceder a la factorización del polinomio

Primer paso

Agrupemos los términos de la siguiente manera

$32 + x^5 -8x^2 - 4x^3 = (x^5- 4x^3) +(-8x^2 + 32)$

En el primer paréntesis factorizamos por factor común el x^3, y en el segundo factorizamos el -8, quedando

$(x^5- 4x^3) +(-8x^2 + 32) = x^3(x^2-4)  - 8(x^2 -4)$

Segundo paso

Vemos que podemos factorizar nuevamente por factor común el x² - 4, quedando así

$x^3(x^2-4)  - 8(x^2 -4) = (x^2-4)(x^3-8)$

Tercer paso

Ahora, podemos hacer uso de la factorización por diferencia de cuadrados y de cubos, es decir

$(x^2-4)(x^3-8) = (x^2-2^2)(x^3-2^3) = (x-2)(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)\\ \\(x-2)(x+2)(x-2)(x^2+2x+4) = (x-2)^2(x+2)(x^2+2x+4)$

Por lo que esta es nuestra expresión factorizada