Question

f(x)=x²-2x, con las sumas de Riemann con intervalos de [2,4]​

Answer 1

El método de la sumas de Riemann es un método muy útil para encontrar el valor aproximado de integrales muy complejas de realizar, la expresión característica del método es:

$\boxed{\displaystyle \bf \int^b _a f(x) dx=\lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(a+k\Delta x\right)\Delta x}$

Cabe señalar que a y b son los límites superior e inferior de nuestra integral definida por, para identificar el valor de a y b debemos saber que por definición a debe ser menor o igual que b, y Δx es una variable que se puede calcular por la fórmula: $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$

Queremos saber el valor del área entre la curva de la función f(x) definida como f(x)=x²-2x entre los intervalos de [2,4], cabe señalar que los intervalos con respecto a que vamos a hacer la integral son los límites superior e inferior de nuestra integral y aplicando la definición que dijimos antes podemos ver que a es igual a 2 y b es igual a 4, entonces queremos calcular la siguiente integral:

$\displaystyle \int ^4_2 x^2-2x dx=\lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(2+k\Delta x\right)\Delta x$

Para facilitar nuestros cálculos, vamos a encontrar el valor de la variable Δx usando la fórmula mencionada anteriormente.

$\Delta x=\dfrac{4-2}{n}\qquad\to\qquad \Delta x=\dfrac{2}{n}\\\\ Sustituyendo~tenemos~que:\\\\\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(2+k\cdot\dfrac{2}{n}\right)\cdot\dfrac{2}{n}\qquad\to\qquad \lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(2+\dfrac{2k}{n}\right)\cdot\dfrac{2}{n}\\\\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(\dfrac{2n}{n}+\cdot\dfrac{2k}{n}\right)\cdot\dfrac{2}{n}\qquad\to\qquad \lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} f\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)\cdot\dfrac{2}{n}$

Esta expresión se vuelve más compleja a medida que avanzamos, no podemos continuar realizando los cálculos para esta expresión si no calculamos $f\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)$ pero para calcular el valor de esta otra expresión, simplemente podemos reemplazar el valor de x en nuestra función por $\dfrac{2k+2n}{n }$, si no hacemos esto, no podemos obtener el resultado de nuestra integral. Sustituyendo el valor de x por toda esta expresión tenemos que:

$f\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)=\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)^2-2\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)\\\\ f\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)=\dfrac{4n^2+8kn+4k^2}{n^2} -\dfrac{4n+4k}{n}\\\\f\left(\dfrac{2k+2n}{n}\right)=\dfrac{4k}{n}+\dfrac{4k^2}{n^2}$

Sustituyendo el valor de esta expresión en otra expresión, podemos ver que nuestra integral se puede calcular usando la siguiente ecuación:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} \left(\dfrac{4k}{n}+\dfrac{4k^2}{n^2} \right)\cdot\dfrac{2}{n}\qquad \to\qquad \lim_{n\to\infty}\sum^n _{k=1} \left(\dfrac{8k}{n^2}+\dfrac{8k^2}{n^3}\right)\\\\\\ \lim_{n\to\infty}\left(\sum^n _{k=1} \dfrac{8k}{n^2}+\sum^n _{k=1} \dfrac{8k^2}{n^3}\right)\qquad\to\qquad \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{8}{n^2}\sum^n _{k=1} k+\dfrac{8}{n^3}\sum^n _{k=1} k^2\right)$

El valor de estos sumatorios se puede encontrar principalmente en un libro de cálculo incluso en internet, buscando de una forma correcta podemos ver que el valor de estas sumas son:

$\boxed{\bf\sum^n _{k=1} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\boxed{\bf \sum^n _{k=1} k=\dfrac{n(n+1)}{2}}$

Sustituyendo estos valores en nuestra ecuación tenemos que:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\not\!\!8}{\not\!\!n^2}\cdot \dfrac{\not\!\!n(n+1)}{\not\!\!2} +\dfrac{\not\!\!8}{\not\!\!n^3}\cdot \dfrac{\not\!\!n(n+1)(2n+1)}{\not\!\!6}\right)\\\\\\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{4(n+1)}{n} + \dfrac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}\right) \\\\\\ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{4n+4}{n} + \dfrac{8n^2+12n+4}{3n^2}\right) \\\\\\\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{4n+4}{n} +\lim_{n\to\infty} \dfrac{8n^2+12n+4}{3n^2}$

Para calcular el valor de estos límites en el infinito debemos dividir cada termino de la expresión del límite por la variable de mayor exponente y una vez dividido cada término por la variable de mayor exponente tendremos que obtener algo parecido a esto $\lim_ {x\to\infty}\dfrac{1}{x}$, si obtenemos esto, aplicaremos la definición de que un número demasiado pequeño dividido por un número demasiado grande se acerca a 0 y ya que infinito es un número enorme tenemos que: $\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$

$As\'i~que~tenemos~que:\\\\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{\frac{4n}{n}+\frac{4}{n}}{\frac{n}{n}} +\lim_{n\to\infty} \dfrac{\frac{8n^2}{n^2}+\frac{12n}{n^2}+\frac{4}{n}}{\frac{3n^2}{n^2}}\qquad \to\qquad \lim_{n\to\infty} \dfrac{4+\frac{4}{n}}{1} +\lim_{n\to\infty} \dfrac{8+\frac{12}{n}+\frac{4}{n}}{3}\\\\\\\ \dfrac{4+0}{1}+\dfrac{8+0+0}{3}\qquad\to\qquad\boxed{\bf \dfrac{20}{3}}$

Este valor proviene del valor de nuestra integral definida pero usando sumas de Riemann, hay que mencionar que este valor no es aproximado, ya que no se menciona en el problema la cantidad de rectángulos que vamos a usar.

Answer 2

Respuesta:

Explicación: