Question

f(x)=e^(x^2 ), centrado en x=0
determine los polinomios de Taylor desde el grado cero (0) hasta el grado cinco (5).

Answer 1

El polinomio de Taylor de grado 5 de la función propuesta es $f(x)\simeq1+x^2+\frac{1}{2}x^4$

Explicación paso a paso:

La expresión general del polinomio de Taylor centrado en x0 y para la función f(x) es:

$f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f(x)^{(i)}}{i!}(x-x_0)^i$

Con lo cual para hacer un polinomio de grado 5 hay que hallar las primeras 5 derivadas en el punto central, el cual es x0=0.

$f(x)=e^{x^2};f(0)=1\\f'(x)=2x.e^{x^2}; f'(0)=0\\f''(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}; f''(0)=2\\f'''(x)=4xe^{x^2}+8xe^{x^2}+8x^3e^{x^2}=4xe^{x^2}(3+2x^2); f'''(0)=0\\f^{iv}=12e^{x^2}+24x^2e^{x^2}+24x^2e^{x^2}+16x^4e^{x^2}; f^{iv}(0)=12\\f^v=24x^{x^2}+96xe^{x^2}+96x^3e^{x^2}+64x^3e^{x^2}+32x^5e^{x^2}; f^{v}(0)=0$

Quedando el polinomio de Taylor:

$f(x)\simeq=1+\frac{2}{2}x^2+\frac{12}{4!}x^4=1+x^2+\frac{1}{2}x^4$