Estudia la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo que se indica
Ayudaaaaaaa porfavor necesito que me expliquen
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Hola, aquí va la respuesta
Función Continua
Una función f:x ⇒ R es continua en un punto "a" si:
a ∈ Dom(f)
Lim f(x) existe
x ⇒ a
Lim f(x)= f(a)
x ⇒ a
A su vez, para que el limite exista, se debe cumplir que:
Es decir, deben coincidir los límites laterales,
Veamos el ejercicio, nos pide determinar si f(x) es continua en x= 0
Claramente 0 ∈ Dom(f), lo cual nos asegura la primera condición de continuidad
Si calculamos f(0):
Calculemos los limites laterales, por un lado:
Racionalizamos el numerador, multiplicando por su conjugado
Por otro lado:
Como el 0 es positivo, omitimos el valor absoluto:
Por suma de limites:
Para el primero usaremos la regla de L'Hopital para el primer limite, en el cual derivaremos numerador y denominador, nos quedará:
Nuevamente usando está regla, obtenemos:
Como los límites laterales coinciden, entonces:
Lim f(x) ∃
x⇒0
Pero vemos que
Lim f(x) ≠ f(0)
x⇒ 0
Por lo tanto la función presenta una discontinuidad reparable