Escribe 5 ecuaciones de elipses que abran en el eje X y 5 que abran en el eje Y.
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
Si el centro de la elipse C(x_0, y_0) y el eje principal es paralelo al eje de las abscisas (eje X), los focos tienen de coordenadas F(x_0 + c, y_0) y F'(x_0 - c, y_0). Y la ecuación canónica de la elipse será
Características de la elipse
\displaystyle \frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1
en donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
\displaystyle Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0
Donde A y B tienen el mismo signo. A esta última fórmula se le conoce como ecuación general de la elipse.
Ejemplos
1. Hallar la ecuación canónica de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).
Solución
2. Dada la elipse de ecuación
\displaystyle \frac{(x - 6)^2}{36} + \frac{(y + 4)^2}{16} = 1
hallar su centro, semiejes, vértices y focos.
Solución
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
Semiejes y focos de la elipse
\displaystyle F'(-c, 0) y \displaystyle F(c, 0). Además cualquier punto \displaystyle P(x, y) sobre la elipse cumple que
\displaystyle d(P,F') + d(P,F) = 2a .
Notemos que dicha expresión es equivalente a
\displaystyle \sqrt{(x + c)^2 + y} + \sqrt{(x - c)^2 + y} = 2a .
Al desarrollar esta última expresión y resolviendo, tenemos que es equivalente a
\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 .
en donde b^2 = a^2 - c^2, como podemos observar en la imagen previa.
Ejemplo:
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.